Cho ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ là các số phức thỏa mãn $\left|...

Gọi: và là điểm biểu diễn số phức .
Gọi và là điểm biểu diễn số phức .
Ta có là số thuần ảo nên , suy ra hay .
Mà .
Từ đó . Xét .
Dấu xảy ra khi .
Nhận xét:
Việc giải cụ thể hệ trên rất khó khăn, nên ta sẽ chỉ ra hệ trên có nghiệm .
Lấy môđun 2 vế ở phương trình và sử dụng ta được , do đó hệ tương đương với .
Gọi tương ứng là điểm biểu diễn thì .
Gọi là đường tròn tâm bán kính .
là đường tròn tâm bán kính .
là ảnh của qua phép tịnh tiến .
Khi đó có tâm , bán kính .
Có nên , do đó đường tròn sẽ cắt đường tròn tại 2 điểm phân biệt. Chọn là điểm tùy ý trong 2 điểm đó.
Khi đó nên theo tính chất phép tịnh tiến sao cho .
Lại có và nên .
Tóm lại tồn tại các điểm sao cho hệ xảy ra, dẫn tới tồn tại sao cho đẳng thức xảy ra. Vậy .