Cho $z_1;z_2$ là các số phức thỏa mãn $\left|...

Gọi: $z_1=a+bi$ và $M(a;b)$ là điểm biểu diễn số phức $z_1$ $\Rightarrow \overrightarrow{OM}(a;b);OM=2$.
Gọi $z_2=c+di\Rightarrow \overline{z_2}=c-di$ và $N(c;d)$ là điểm biểu diễn số phức $z_2$ $\Rightarrow \overrightarrow{ON}(c;d);ON=3$.
Ta có $z_1.\overline{z_2}$ là số thuần ảo nên $ac+bd=0$, suy ra $\overrightarrow{OM}\mathrm{\perp }\overrightarrow{ON}$ hay $\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}=0$.
Mà ${|4z_1-3z_2|}^2={|4\overrightarrow{OM}-3\overrightarrow{ON}|}^2=16{\overrightarrow{OM}}^2-24\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}+9{\overrightarrow{ON}}^2=16O{M}^2+9O{N}^2=145$.
Từ đó $|4z_1-3z_2|=\sqrt{145}$. Xét $P=|4z_1-3z_2+1-2i|\le |4z_1-3z_2|+|1-2i|=\sqrt{145}+\sqrt{5}$.
Dấu ${}^{″}{=}^{″}$ xảy ra khi $\{\begin{array}{rl}& 4z_1-3z_2=k(1-2i),k\ge 0(1)\\ & \left|z_1\right|=2,\left|z_2\right|=3(2)\\ & ac+bd=0(3)\\ & |4z_1-3z_2|=\sqrt{145}(4)\end{array}$.
Nhận xét:
Việc giải cụ thể hệ trên rất khó khăn, nên ta sẽ chỉ ra hệ trên có nghiệm $(z_1,z_2)$.
Lấy môđun 2 vế ở phương trình và sử dụng ta được $\left|k\right|=\sqrt{29}\Rightarrow k=\sqrt{29}$, do đó hệ tương đương với $\{\begin{array}{rl}& 4z_1-3z_2=\sqrt{29}(1-2i),k\ge 0\\ & \left|z_1\right|=2,\left|z_2\right|=3\end{array}$.
Gọi $P,Q$ tương ứng là điểm biểu diễn $4z_1,3z_2$ thì $\{\begin{array}{rl}& \overrightarrow{QP}=(\sqrt{29};-2\sqrt{29})\\ & OP=8,OQ=9\end{array}$.
Gọi $\left(C_1\right)$ là đường tròn tâm $O$ bán kính $R_1=8$.
$\left(C_2\right)$ là đường tròn tâm $O$ bán kính $R_2=9$.
$\left(C_3\right)$ là ảnh của $\left(C_2\right)$ qua phép tịnh tiến $\overrightarrow{v}=(\sqrt{29};-2\sqrt{29})$.
Khi đó $\left(C_3\right)$ có tâm $I(\sqrt{29};-2\sqrt{29})$, bán kính $R_3=9$.
Có $OI=\sqrt{145}$ nên $|R_1-R_3|<OI<R_1+R_3$, do đó đường tròn $\left(C_3\right)$ sẽ cắt đường tròn $\left(C_1\right)$ tại 2 điểm phân biệt. Chọn $P$ là điểm tùy ý trong 2 điểm đó.
Khi đó $P\in \left(C_3\right)$ nên theo tính chất phép tịnh tiến $\mathrm{\exists }Q\in \left(C_1\right)$ sao cho $\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{v}=(\sqrt{29};-2\sqrt{29})$.
Lại có $P\in \left(C_1\right)$ và $Q\in \left(C_2\right)$ nên $OP=8,OQ=9$.
Tóm lại tồn tại các điểm $P,Q$ sao cho hệ xảy ra, dẫn tới tồn tại $z_1,z_2$ sao cho đẳng thức $P=\sqrt{145}+\sqrt{5}$ xảy ra. Vậy $maxP=\sqrt{145}+\sqrt{5}$.