Google
Câu hỏi: Cho ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$ là các số phức thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}-5+i \right|=3$ và $\left| {{z}_{2}}+2+3i \right|=\left| {{z}_{2}}-1-i \right|$. Giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ bằng
[/LIST]
A. $11$.
B. $33$.
C. $\dfrac{3}{10}$.
D. $21$.
[/LIST]
A. $11$.
B. $33$.
C. $\dfrac{3}{10}$.
D. $21$.
[/LIST]
Giả sử $A\left( {{z}_{1}} \right), B\left( {{z}_{2}} \right)$ và ${{z}_{2}}=x+yi \left( x,y\in \mathbb{R} \right).$
+) $\left| {{z}_{1}}-5+i \right|=3\Rightarrow A\in $ đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( 5; -1 \right)$, bán kính $R=3$.
+) $\left| {{z}_{2}}+2+3i \right|=\left| {{z}_{2}}-1-i \right|\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}={{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 6x+8y+11=0 $.
$\Rightarrow B\in \left( d \right): 6x+8y+11=0$.
+) $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=AB.$
Gọi H là hình chiếu của I lên (d). Ta có: $IH=d\left( I;d \right)=\dfrac{\left| 6.5+8.\left( -1 \right)+11 \right|}{\sqrt{{{6}^{2}}+{{8}^{2}}}}=\dfrac{33}{10}$.
Vậy ${{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}_{\min }}=A{{B}_{\min }}=EH=IH-R=\dfrac{3}{10}.$
+) $\left| {{z}_{1}}-5+i \right|=3\Rightarrow A\in $ đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( 5; -1 \right)$, bán kính $R=3$.
+) $\left| {{z}_{2}}+2+3i \right|=\left| {{z}_{2}}-1-i \right|\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}={{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 6x+8y+11=0 $.
$\Rightarrow B\in \left( d \right): 6x+8y+11=0$.
+) $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=AB.$
Gọi H là hình chiếu của I lên (d). Ta có: $IH=d\left( I;d \right)=\dfrac{\left| 6.5+8.\left( -1 \right)+11 \right|}{\sqrt{{{6}^{2}}+{{8}^{2}}}}=\dfrac{33}{10}$.
Vậy ${{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}_{\min }}=A{{B}_{\min }}=EH=IH-R=\dfrac{3}{10}.$
Đáp án C.