Google
Câu hỏi: Cho $y=f\left( x \right)$ là hàm số đa thức bậc 4 thỏa mãn $f\left( 1 \right)\le 0$ và hàm số $y=f'\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Hàm số $g\left( x \right)=\left| f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)+{{x}^{2}} \right|$ có mấy điểm cực trị?
A. 1
B. 3
C. 5
D. 2
Hàm số $g\left( x \right)=\left| f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)+{{x}^{2}} \right|$ có mấy điểm cực trị?
A. 1
B. 3
C. 5
D. 2
Cách giải:
Xét hàm số $h\left( x \right)=f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}+{{x}^{2}} \right)$ có $h'\left( x \right)=\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}f'\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)+2x.$
Cho $h'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}f'\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)+2x=0$
$\Leftrightarrow x\left[ \dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}f'\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)+2 \right]=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& f'\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)=-2\sqrt{{{x}^{2}}+1}\left( * \right) \\
\end{aligned} \right.$
Đặt $t=\sqrt{{{x}^{2}}+1}\ge 1,$ phương trình (*) trở thành $f'\left( t \right)=-2t\left( t\ge 1 \right).$
$\Rightarrow $ Phương trình này có nghiệm duy nhất ${{t}_{0}}>1\Leftrightarrow \sqrt{2{{x}^{2}}+1}={{t}_{0}}\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}={{t}_{0}}-1\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{\dfrac{{{t}_{0}}-1}{2}}.$
$\Rightarrow $ Phương trình $h'\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt nên hàm số $h\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị.
Xét phương trình $h\left( x \right)=0\Leftrightarrow f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)+{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)+{{x}^{2}}+1=1.$
Đặt $t=\sqrt{{{x}^{2}}+1}\left( t\ge 1 \right),$ phương trình trở thành $f\left( t \right)+{{t}^{2}}=1\Leftrightarrow f\left( t \right)=1-{{t}^{2}}\left( ** \right).$
Từ BBT hàm số $f'\left( x \right)$ ta thấy phương trình $f'\left( x \right)=0$ có 1 nghiệm $x={{x}_{0}}>1.$ Do đó ta có BBT hàm số $f\left( x \right)$ như sau:
Vẽ đồ thị hàm số $y=f\left( t \right)$ và $y=1-{{t}^{2}}$ trên cùng mặt phẳng tọa độ:
Ta thấy phương trình (**) có 2 nghiệm phân biệt.
Do đó phương trình $h\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy hàm số $g\left( x \right)=\left| h\left( x \right) \right|$ có tất cả $3+2=5$ điểm cực trị.
Xét hàm số $h\left( x \right)=f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}+{{x}^{2}} \right)$ có $h'\left( x \right)=\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}f'\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)+2x.$
Cho $h'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}f'\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)+2x=0$
$\Leftrightarrow x\left[ \dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}f'\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)+2 \right]=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& f'\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)=-2\sqrt{{{x}^{2}}+1}\left( * \right) \\
\end{aligned} \right.$
Đặt $t=\sqrt{{{x}^{2}}+1}\ge 1,$ phương trình (*) trở thành $f'\left( t \right)=-2t\left( t\ge 1 \right).$
$\Rightarrow $ Phương trình này có nghiệm duy nhất ${{t}_{0}}>1\Leftrightarrow \sqrt{2{{x}^{2}}+1}={{t}_{0}}\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}={{t}_{0}}-1\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{\dfrac{{{t}_{0}}-1}{2}}.$
$\Rightarrow $ Phương trình $h'\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt nên hàm số $h\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị.
Xét phương trình $h\left( x \right)=0\Leftrightarrow f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)+{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)+{{x}^{2}}+1=1.$
Đặt $t=\sqrt{{{x}^{2}}+1}\left( t\ge 1 \right),$ phương trình trở thành $f\left( t \right)+{{t}^{2}}=1\Leftrightarrow f\left( t \right)=1-{{t}^{2}}\left( ** \right).$
Từ BBT hàm số $f'\left( x \right)$ ta thấy phương trình $f'\left( x \right)=0$ có 1 nghiệm $x={{x}_{0}}>1.$ Do đó ta có BBT hàm số $f\left( x \right)$ như sau:
Vẽ đồ thị hàm số $y=f\left( t \right)$ và $y=1-{{t}^{2}}$ trên cùng mặt phẳng tọa độ:
Ta thấy phương trình (**) có 2 nghiệm phân biệt.
Do đó phương trình $h\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy hàm số $g\left( x \right)=\left| h\left( x \right) \right|$ có tất cả $3+2=5$ điểm cực trị.
Đáp án C.