Cho $y=f\left(x\right)$ có đồ thị của $y=f^{\prime }\left(x\right)$...

Từ đồ thị của $y=f^{\prime }\left(x\right)$, ta có bảng biến thiên của $y=f\left(x\right)$ trên $[-2;6]$ như sau

Từ bảng biến thiên ta có
$M=\underset{\left[\text{-2;6}\right]}{\text{max}}f\left(x\right)=\text{max}\{f\left(0\right),f\left(5\right)\}$, $m=\underset{\left[\text{-2;6}\right]}{\text{min}}f\left(x\right)=\text{min}\{f(-2),f\left(2\right),f\left(6\right)\}$.
Từ đồ thị của $y=f^{\prime }\left(x\right)$ ta có $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|f^{\prime }\left(x\right)\right|\text{d}x<\underset{2}{\overset{5}{\int }}\left|f^{\prime }\left(x\right)\right|\text{d}x$ $\iff \underset{0}{\overset{2}{\int }}-f^{\prime }\left(x\right)\text{d}x<\underset{2}{\overset{5}{\int }}{f}^{\prime }\left(x\right)\text{d}x$ $\iff f\left(0\right)-f\left(2\right)<f\left(5\right)-f\left(2\right)$ $\iff f\left(0\right)<f\left(5\right)$.
Suy ra $\text{max}\{f\left(0\right),f\left(5\right)\}=f\left(5\right)$.
Mặt khác, cũng từ từ đồ thị của $y=f^{\prime }\left(x\right)$, ta có $\underset{-2}{\overset{0}{\int }}\left|f^{\prime }\left(x\right)\right|\text{d}x>\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|f^{\prime }\left(x\right)\right|\text{d}x$ $\iff \underset{-2}{\overset{0}{\int }}{f}^{\prime }\left(x\right)\text{d}x>\underset{0}{\overset{2}{\int }}-f^{\prime }\left(x\right)\text{d}x$ $\iff f\left(0\right)-f(-2)>f\left(0\right)-f\left(2\right)$ $\iff f(-2)<f\left(2\right)$.
Hơn nữa $\underset{2}{\overset{5}{\int }}\left|f^{\prime }\left(x\right)\right|\text{d}x>\underset{5}{\overset{6}{\int }}\left|f^{\prime }\left(x\right)\right|\text{d}x$ $\iff \underset{2}{\overset{5}{\int }}{f}^{\prime }\left(x\right)\text{d}x>\underset{5}{\overset{6}{\int }}-f^{\prime }\left(x\right)\text{d}x$ $\iff f\left(5\right)-f\left(2\right)>f\left(5\right)-f\left(6\right)$ $\iff f\left(2\right)<f\left(6\right)$.
Suy ra $\text{min}\{f(-2),f\left(2\right),f\left(6\right)\}=f(-2)$.
Vậy $\text{M=max}\{f\left(0\right),f\left(5\right)\}=f\left(5\right)$, $\text{m=min}\{f(-2),f\left(2\right),f\left(6\right)\}=f(-2)$,
nên $M+m=f\left(5\right)+f(-2)$.