Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện...

Đặt $a={{2}^{x}},b={{3}^{y}},c={{4}^{z}}\left( a>0,b>0,c>0 \right)$
Theo giả thiết, ta có: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=a+b+c\Leftrightarrow {{\left( a-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( b-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( c-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{3}{4}\left( * \right)$
Ta tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=2a+3b+4c.$
Trong không gian tọa độ Oxyz, lấy các điểm $M\left( a;b;c \right),a>0,b>0,c>0$ với thỏa mãn (*) $\Leftrightarrow $ M thuộc mặt cầu tâm $I\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2} \right)$, bán kính $R=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Xét mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x+3y+4z-T=0$ đi qua $M\left( a;b;c \right).$
$\Rightarrow d\left( I,\left( \alpha \right) \right)\le IM=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \dfrac{\left| 2.\dfrac{1}{2}+3.\dfrac{1}{2}+4.\dfrac{1}{2}-T \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}}\le \dfrac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \dfrac{\left| \dfrac{9}{2}-T \right|}{\sqrt{29}}\le \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\Leftrightarrow \left| T-\dfrac{9}{2} \right|\le \dfrac{\sqrt{87}}{2}\Leftrightarrow T-\dfrac{9}{2}\le \dfrac{\sqrt{87}}{2}\Leftrightarrow T\le \dfrac{9+\sqrt{87}}{2}.$
Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left( \alpha \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $\left( I,R \right)$ tại M.
Bằng tính toán, ta giải được: $a=\dfrac{29+2\sqrt{87}}{58};b=\dfrac{29+3\sqrt{87}}{58};c=\dfrac{29+4\sqrt{87}}{58}.$
Vậy $\max T=\dfrac{9+\sqrt{87}}{2}.$