Google
Câu hỏi: Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thoả mãn ${{2}^{x}}+{{2}^{y}}+{{2}^{z}}=10$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=x+y+3z$ gần nhất với số nào sau đây?
A. $8$.
B. $10$.
C. $9$.
D. $7$.
A. $8$.
B. $10$.
C. $9$.
D. $7$.
Đặt: $\left\{ \begin{aligned}
& a={{2}^{x}} \\
& b={{2}^{y}} \\
& c={{2}^{z}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x={{\log }_{2}}a \\
& y={{\log }_{2}}b \\
& z={{\log }_{2}}c \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+b+c=10;a,b,c\ge 1 \\
& P={{\log }_{2}}\left( ab{{c}^{3}} \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
$a.b.{{c}^{3}}\le {{c}^{3}}{{\left( \dfrac{a+b}{2} \right)}^{2}}={{c}^{3}}{{\left( \dfrac{10-c}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{c}{3}.\dfrac{c}{3}.\dfrac{c}{3}\left( \dfrac{10-c}{2} \right).\left( \dfrac{10-c}{2} \right).27$
$\le {{\left( \dfrac{c+10-c}{5} \right)}^{5}}.27={{2}^{5}}.27$.
Dấu bằng xảy ra khi $\dfrac{c}{3}=\dfrac{10-c}{2}\Rightarrow c=6\Rightarrow a=b=2$.
$\Rightarrow P={{\log }_{2}}\left( ab{{c}^{3}} \right)\le {{\log }_{2}}\left( {{2}^{5}}.27 \right)=5+3{{\log }_{2}}3\approx 6,58$.
& a={{2}^{x}} \\
& b={{2}^{y}} \\
& c={{2}^{z}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x={{\log }_{2}}a \\
& y={{\log }_{2}}b \\
& z={{\log }_{2}}c \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+b+c=10;a,b,c\ge 1 \\
& P={{\log }_{2}}\left( ab{{c}^{3}} \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
$a.b.{{c}^{3}}\le {{c}^{3}}{{\left( \dfrac{a+b}{2} \right)}^{2}}={{c}^{3}}{{\left( \dfrac{10-c}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{c}{3}.\dfrac{c}{3}.\dfrac{c}{3}\left( \dfrac{10-c}{2} \right).\left( \dfrac{10-c}{2} \right).27$
$\le {{\left( \dfrac{c+10-c}{5} \right)}^{5}}.27={{2}^{5}}.27$.
Dấu bằng xảy ra khi $\dfrac{c}{3}=\dfrac{10-c}{2}\Rightarrow c=6\Rightarrow a=b=2$.
$\Rightarrow P={{\log }_{2}}\left( ab{{c}^{3}} \right)\le {{\log }_{2}}\left( {{2}^{5}}.27 \right)=5+3{{\log }_{2}}3\approx 6,58$.
Đáp án D.