Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn $0<{{\left( x+y...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn

0 < {(x + y)}^{2} + {(y + z)}^{2} + {(z + x)}^{2} \leq 18

. Biết giá trị lớn nhất của biểu thức

P = 4^{\frac{x}{3}} + 4^{\frac{y}{3}} + 4^{\frac{z}{3}} - \frac{1}{108} {(x + y + z)}^{4}

là

\frac{a}{b}

, với a, b là các số nguyên dương và

\frac{a}{b}

tối giản. Tính

S = 2 a + 3 b

.
A.

S = 13

B.

S = 42

C.

S = 54

D.

S = 71

Từ giả thiết ta có:

2 x^{2} \leq 2 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \leq {(x + y)}^{2} + {(y + z)}^{2} + {(z + x)}^{2} \leq 18 \Rightarrow x \in [0; 3]

.
Một cách tương tự ta có

y, z \in [0; 3]

.
Do đó ta có

4^{\frac{x}{3}} \leq x + 1, 4^{\frac{y}{3}} \leq y + 1, 4^{\frac{z}{3}} \leq z + 1; \forall x, y, z \in [0; 3]

.
Vì vậy

P \leq x + y + z + 3 - \frac{1}{108} {(x + y + z)}^{4}

.
Đặt

t = x + y + z \in [0; 9]

, ta có

P \leq f (t) = t + 3 - \frac{1}{108} t^{4} \leq max_{[0; 9]} f (t) = f (3) = \frac{21}{4}

.
Dấu "=" đặt tại

(x; y; z) = (3; 0; 0), (0; 3; 0), (0; 0; 3)

.
Vậy

S = 2.21 + 3.4 = 54

.

Đáp án C.