Google
Câu hỏi: Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn $0<{{\left( x+y \right)}^{2}}+{{\left( y+z \right)}^{2}}+{{\left( z+x \right)}^{2}}\le 18$. Biết giá trị lớn nhất của biểu thức $P={{4}^{\dfrac{x}{3}}}+{{4}^{\dfrac{y}{3}}}+{{4}^{\dfrac{z}{3}}}-\dfrac{1}{108}{{\left( x+y+z \right)}^{4}}$ là $\dfrac{a}{b}$, với a, b là các số nguyên dương và $\dfrac{a}{b}$ tối giản. Tính $S=2\text{a}+3b$.
A. $S=13$
B. $S=42$
C. $S=54$
D. $S=71$
A. $S=13$
B. $S=42$
C. $S=54$
D. $S=71$
Từ giả thiết ta có: $2{{\text{x}}^{2}}\le 2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)\le {{\left( x+y \right)}^{2}}+{{\left( y+z \right)}^{2}}+{{\left( z+x \right)}^{2}}\le 18\Rightarrow x\in \left[ 0;3 \right]$.
Một cách tương tự ta có $y,z\in \left[ 0;3 \right]$.
Do đó ta có ${{4}^{\dfrac{x}{3}}}\le x+1,{{4}^{\dfrac{y}{3}}}\le y+1,{{4}^{\dfrac{z}{3}}}\le z+1;\forall x,y,z\in \left[ 0;3 \right]$.
Vì vậy $P\le x+y+z+3-\dfrac{1}{108}{{\left( x+y+z \right)}^{4}}$.
Đặt $t=x+y+z\in \left[ 0;9 \right]$, ta có $P\le f\left( t \right)=t+3-\dfrac{1}{108}{{t}^{4}}\le \underset{\left[ 0;9 \right]}{\mathop{\max }} f\left( t \right)=f\left( 3 \right)=\dfrac{21}{4}$.
Dấu "=" đặt tại $\left( x;y;z \right)=\left( 3;0;0 \right),\left( 0;3;0 \right),\left( 0;0;3 \right)$.
Vậy $S=2.21+3.4=54$.
Một cách tương tự ta có $y,z\in \left[ 0;3 \right]$.
Do đó ta có ${{4}^{\dfrac{x}{3}}}\le x+1,{{4}^{\dfrac{y}{3}}}\le y+1,{{4}^{\dfrac{z}{3}}}\le z+1;\forall x,y,z\in \left[ 0;3 \right]$.
Vì vậy $P\le x+y+z+3-\dfrac{1}{108}{{\left( x+y+z \right)}^{4}}$.
Đặt $t=x+y+z\in \left[ 0;9 \right]$, ta có $P\le f\left( t \right)=t+3-\dfrac{1}{108}{{t}^{4}}\le \underset{\left[ 0;9 \right]}{\mathop{\max }} f\left( t \right)=f\left( 3 \right)=\dfrac{21}{4}$.
Dấu "=" đặt tại $\left( x;y;z \right)=\left( 3;0;0 \right),\left( 0;3;0 \right),\left( 0;0;3 \right)$.
Vậy $S=2.21+3.4=54$.
Đáp án C.