Google
Câu hỏi: Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thoả $5\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)=9\left( xy+2yz+zx \right)$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\dfrac{x}{{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}-\dfrac{1}{{{\left( x+y+z \right)}^{3}}}$ bằng
A. 18.
B. 12.
C. 16.
D. 24.
A. 18.
B. 12.
C. 16.
D. 24.
Ta có: $5\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)=9\left( xy+2yz+zx \right)\Leftrightarrow 5{{x}^{2}}+5\left( {{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)-9x\left( y+z \right)-18yz=0.$
$\Leftrightarrow 5{{x}^{2}}-9x\left( y+z \right)=18yz-5\left( {{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)(1).$
Ta lại có: $7{{\left( y-z \right)}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow 7{{y}^{2}}-14yz+7{{z}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow 2{{\left( y+z \right)}^{2}}\ge 18yz-5\left( {{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right) \left( 2 \right).$
Từ (1) và (2) suy ra: $5{{x}^{2}}-9x\left( y+z \right)\le 2{{\left( y+z \right)}^{2}}\Leftrightarrow \left[ x-2\left( y+z \right) \right]\left( 5x+y+z \right)\le 0$
$\Leftrightarrow x-2\left( y+z \right)\le 0$ ( do $5x+y+z>0\forall x,y,z>0$ ) $\Leftrightarrow x\le 2\left( y+z \right).$
Do đó:
$P=\dfrac{x}{{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}-\dfrac{1}{{{\left( x+y+z \right)}^{3}}}\le \dfrac{2\left( y+z \right)}{\dfrac{1}{2}{{\left( y+z \right)}^{2}}}-\dfrac{1}{{{\left[ 2\left( y+z \right)+y+z \right]}^{3}}}=\dfrac{4}{\left( y+z \right)}-\dfrac{1}{27{{\left( y+z \right)}^{3}}}.$
Đặt $t=\dfrac{1}{y+z}>0$ khi đó $P\le 4t-\dfrac{{{t}^{3}}}{27};t>0.$
Xét hàm số: $f\left( t \right)=4t-\dfrac{{{t}^{3}}}{27};t>0$ có $f'\left( t \right)=4-\dfrac{{{t}^{2}}}{9}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=6\Rightarrow f\left( 6 \right)=16 \\
& t=-6<0\left( l \right) \\
\end{aligned} \right.$
Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \left( 4t-\dfrac{{{t}^{3}}}{27} \right)=-\infty $.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên suy ra: $f\left( t \right)=4t-\dfrac{{{t}^{3}}}{27}\le 16\forall t>0$
$\Rightarrow P\le 4t-\dfrac{{{t}^{3}}}{27}\le 16\forall t>0$. Suy ra $\max P=16.$
Đẳng thức xảy ra khi: $\left\{ \begin{aligned}
& y=z \\
& y+z=\dfrac{1}{6} \\
& x=2\left( y+z \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y=z=\dfrac{1}{12} \\
& x=\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right.$.
$\Leftrightarrow 5{{x}^{2}}-9x\left( y+z \right)=18yz-5\left( {{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)(1).$
Ta lại có: $7{{\left( y-z \right)}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow 7{{y}^{2}}-14yz+7{{z}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow 2{{\left( y+z \right)}^{2}}\ge 18yz-5\left( {{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right) \left( 2 \right).$
Từ (1) và (2) suy ra: $5{{x}^{2}}-9x\left( y+z \right)\le 2{{\left( y+z \right)}^{2}}\Leftrightarrow \left[ x-2\left( y+z \right) \right]\left( 5x+y+z \right)\le 0$
$\Leftrightarrow x-2\left( y+z \right)\le 0$ ( do $5x+y+z>0\forall x,y,z>0$ ) $\Leftrightarrow x\le 2\left( y+z \right).$
Do đó:
$P=\dfrac{x}{{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}-\dfrac{1}{{{\left( x+y+z \right)}^{3}}}\le \dfrac{2\left( y+z \right)}{\dfrac{1}{2}{{\left( y+z \right)}^{2}}}-\dfrac{1}{{{\left[ 2\left( y+z \right)+y+z \right]}^{3}}}=\dfrac{4}{\left( y+z \right)}-\dfrac{1}{27{{\left( y+z \right)}^{3}}}.$
Đặt $t=\dfrac{1}{y+z}>0$ khi đó $P\le 4t-\dfrac{{{t}^{3}}}{27};t>0.$
Xét hàm số: $f\left( t \right)=4t-\dfrac{{{t}^{3}}}{27};t>0$ có $f'\left( t \right)=4-\dfrac{{{t}^{2}}}{9}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=6\Rightarrow f\left( 6 \right)=16 \\
& t=-6<0\left( l \right) \\
\end{aligned} \right.$
Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \left( 4t-\dfrac{{{t}^{3}}}{27} \right)=-\infty $.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên suy ra: $f\left( t \right)=4t-\dfrac{{{t}^{3}}}{27}\le 16\forall t>0$
$\Rightarrow P\le 4t-\dfrac{{{t}^{3}}}{27}\le 16\forall t>0$. Suy ra $\max P=16.$
Đẳng thức xảy ra khi: $\left\{ \begin{aligned}
& y=z \\
& y+z=\dfrac{1}{6} \\
& x=2\left( y+z \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y=z=\dfrac{1}{12} \\
& x=\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án C.