Cho $x, y, z > 0; a, b, c > 1$ và...

The Knowledge · 16/12/21

Câu hỏi: Cho

x, y, z > 0; a, b, c > 1

và

a^{x} = b^{y} = c^{z} = \sqrt{a b c}

. Giá trị lớn nhất của biểu thức

T = \frac{16}{x} + \frac{16}{y} - z^{2}

thuộc khoảng nào sau đây?
A.

[15; 20]

B.

[- 10; 10)

C.

[10; 15)

D.

(20; 25]

Ta có:

a^{x} = \sqrt{a b c} \Rightarrow \log_{a b c} a^{x} = \log_{a b c} \sqrt{a b c} \Rightarrow x = \frac{1}{2 \log_{a b c} a} \Rightarrow \frac{1}{x} = 2 \log_{a b c} a

Tương tự:

\frac{1}{y} = 2 \log_{a b c} b

và

z = \frac{1}{2 \log_{a b c} c}

Đặt:

u = \log_{a b c} a, v = \log_{a b c} b, t = \log_{a b c} c

thì

u, v, t > 0

và

u + v + t = 1

.
Khi đó:

T = 32 u + 32 v - \frac{1}{4 t^{2}} = 32 (1 - t) - \frac{1}{4 t^{2}} = f (t)

với

t \in (0; 1)

.

f^{'} (t) = - 32 + \frac{1}{2 t^{3}} = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{4}

.
Lập bảng biến thiên ta được

max f (t) = 20

.

Đáp án A.

Cho x,y,z>0;a,b,c>1 và...