Google
Câu hỏi: Cho $x,y,z>0;a,b,c>1$ và ${{a}^{x}}={{b}^{y}}={{c}^{z}}=\sqrt{abc}$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $T=\dfrac{16}{x}+\dfrac{16}{y}-{{z}^{2}}$ thuộc khoảng nào sau đây?
A. $\left[ 15;20 \right]$
B. $\left[ -10;10 \right)$
C. $\left[ 10;15 \right)$
D. $\left( 20;25 \right]$
A. $\left[ 15;20 \right]$
B. $\left[ -10;10 \right)$
C. $\left[ 10;15 \right)$
D. $\left( 20;25 \right]$
Ta có: ${{a}^{x}}=\sqrt{abc}\Rightarrow {{\log }_{abc}}{{a}^{x}}={{\log }_{abc}}\sqrt{abc}\Rightarrow x=\dfrac{1}{2{{\log }_{abc}}a}\Rightarrow \dfrac{1}{x}=2{{\log }_{abc}}a$
Tương tự: $\dfrac{1}{y}=2{{\log }_{abc}}b$ và $z=\dfrac{1}{2{{\log }_{abc}}c}$
Đặt: $u={{\log }_{abc}}a,v={{\log }_{abc}}b,t={{\log }_{abc}}c$ thì $u,v,t>0$ và $u+v+t=1$.
Khi đó: $T=32u+32v-\dfrac{1}{4{{t}^{2}}}=32\left( 1-t \right)-\dfrac{1}{4{{t}^{2}}}=f\left( t \right)$ với $t\in \left( 0;1 \right)$.
${f}'\left( t \right)=-32+\dfrac{1}{2{{t}^{3}}}=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{4}$.
Lập bảng biến thiên ta được $\max f\left( t \right)=20$.
Tương tự: $\dfrac{1}{y}=2{{\log }_{abc}}b$ và $z=\dfrac{1}{2{{\log }_{abc}}c}$
Đặt: $u={{\log }_{abc}}a,v={{\log }_{abc}}b,t={{\log }_{abc}}c$ thì $u,v,t>0$ và $u+v+t=1$.
Khi đó: $T=32u+32v-\dfrac{1}{4{{t}^{2}}}=32\left( 1-t \right)-\dfrac{1}{4{{t}^{2}}}=f\left( t \right)$ với $t\in \left( 0;1 \right)$.
${f}'\left( t \right)=-32+\dfrac{1}{2{{t}^{3}}}=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{4}$.
Lập bảng biến thiên ta được $\max f\left( t \right)=20$.
Đáp án A.