Google
Câu hỏi: Cho $x , y$ thỏa mãn $5{{x}^{2}}+6xy+5{{y}^{2}}=16$ và hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Gọi $M , m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $P=f\left( \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}-2xy+4} \right)$. Tính ${{M}^{2}}+ {{m}^{2}}$.
A. ${{M}^{2}}+ {{m}^{2}}=4$.
B. ${{M}^{2}}+ {{m}^{2}}=1$.
C. ${{M}^{2}}+ {{m}^{2}}=25$.
D. ${{M}^{2}}+ {{m}^{2}}=2$.
B. ${{M}^{2}}+ {{m}^{2}}=1$.
C. ${{M}^{2}}+ {{m}^{2}}=25$.
D. ${{M}^{2}}+ {{m}^{2}}=2$.
Ta có $t=\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}-2xy+4}=\dfrac{8{{x}^{2}}+8{{y}^{2}}-16}{8{{x}^{2}}-8{{y}^{2}}-16xy+2.16}=\dfrac{3{{x}^{2}}-6xy+3{{y}^{2}}}{18{{x}^{2}}-4xy+2{{y}^{2}}}$
TH1: xét $y=0\Rightarrow t=\dfrac{1}{6}\Rightarrow f\left( t \right)=m\in \left( 0;2 \right)$
TH2: xét $y\ne 0$ $\Rightarrow t=\dfrac{3{{\left( \dfrac{x}{y} \right)}^{2}}-6\dfrac{x}{y}+3}{18{{\left( \dfrac{x}{y} \right)}^{2}}-4\dfrac{x}{y}+2}$. Đặt $u=\dfrac{x}{y}$, ta có: $t=\dfrac{3{{u}^{2}}-6u+3}{18{{u}^{2}}-4u+2}=g\left( u \right)$.
Ta có: $g'\left( u \right)=\dfrac{96{{u}^{2}}-96u}{{{\left( 18{{u}^{2}}-4u+2 \right)}^{2}}}\xrightarrow{g'\left( u \right)=0}\left[ \begin{aligned}
& u=0 \\
& u=1 \\
\end{aligned} \right. $ và $ \underset{u\to \pm \infty }{\mathop{\lim }} g\left( u \right)=\dfrac{1}{6}$
Lập bảng biến thiên ta có:
Do đó $g\left( u \right)\in \left[ 0;\dfrac{3}{2} \right]$ hay $t\in \left[ 0;\dfrac{3}{2} \right]$. Dựa vào đồ thị ta thấy, $\max P=0,\min P=-2$
Suy ra ${{M}^{2}}+{{m}^{2}}=4$.
TH1: xét $y=0\Rightarrow t=\dfrac{1}{6}\Rightarrow f\left( t \right)=m\in \left( 0;2 \right)$
TH2: xét $y\ne 0$ $\Rightarrow t=\dfrac{3{{\left( \dfrac{x}{y} \right)}^{2}}-6\dfrac{x}{y}+3}{18{{\left( \dfrac{x}{y} \right)}^{2}}-4\dfrac{x}{y}+2}$. Đặt $u=\dfrac{x}{y}$, ta có: $t=\dfrac{3{{u}^{2}}-6u+3}{18{{u}^{2}}-4u+2}=g\left( u \right)$.
Ta có: $g'\left( u \right)=\dfrac{96{{u}^{2}}-96u}{{{\left( 18{{u}^{2}}-4u+2 \right)}^{2}}}\xrightarrow{g'\left( u \right)=0}\left[ \begin{aligned}
& u=0 \\
& u=1 \\
\end{aligned} \right. $ và $ \underset{u\to \pm \infty }{\mathop{\lim }} g\left( u \right)=\dfrac{1}{6}$
Lập bảng biến thiên ta có:
Suy ra ${{M}^{2}}+{{m}^{2}}=4$.
Đáp án A.