Cho $x, y$ là hai số thực thỏa mãn...

$\dfrac{-2x+4y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1}\ge 1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y+1\le 0\Rightarrow N\left( x;y \right)$ thuộc hình tròn tâm $I\left( -1;2 \right)$, bán kính $R=2$.
$32\left( {{2}^{x-y}}+\dfrac{x-y+5}{{{2}^{y}}} \right)\le 1\Leftrightarrow {{2}^{x}}+x\le {{2}^{y-5}}+y-5\Leftrightarrow x\le y-5 \left( * \right)\Rightarrow N\left( x;y \right)$ thuộc miền nghiệm của (*).
Khi đó, điểm $N\left( x;y \right)$ thuộc phần hình tròn tô màu(như hình vẽ)
Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y+1=0 \\
& y=x+5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-3; y=2\Rightarrow A\left( -3;2 \right) \\
& x=-1; y=4\Rightarrow B\left( -1;4 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
$T={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-4y\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=T+8>0$. Điểm $N\left( x;y \right)$ thuộc đường tròn tâm $J\left( 2;2 \right)$, bán kính ${R}'=\sqrt{T+8}$ ; $J{{A}^{2}}=25, J{{B}^{2}}=13$.
Như vậy, ta được $J{{B}^{2}}\le T+8\le J{{A}^{2}}\Leftrightarrow 5\le T\le 17$.
${{T}_{\max }}=17\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-3 \\
& y=2 \\
\end{aligned} \right.; {{T}_{\min }}=5\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& y=4 \\
\end{aligned} \right. $. Vậy, $ M+m=22$.