Google
Câu hỏi: Cho x, y là các số thực và x dương thỏa mãn ${{\log }_{2}}\dfrac{1-{{y}^{2}}}{x}=3(x+{{y}^{2}}-1)$. Biết giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\dfrac{1-{{y}^{2}}+\sqrt{9{{\text{x}}^{2}}+1}}{8{{\text{x}}^{2}}+{{y}^{2}}+x}$ bằng $\dfrac{a\sqrt{b}}{{{c}^{2}}}$ với a, b, c là các số nguyên tố. Tính giá trị của biểu thức $T=a+b+c$.
A. $T=8$
B. $T=10$
C. $T=12$
D. $T=7$
A. $T=8$
B. $T=10$
C. $T=12$
D. $T=7$
Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& y\in (-1;1) \\
\end{aligned} \right.$. Khi đó điều kiện bài toán tương đương:
${{\log }_{2}}(1-{{y}^{2}})+3(1-{{y}^{2}})={{\log }_{2}}x+3\text{x}\Leftrightarrow f(1-{{y}^{2}})=f(x)$ (*) với $f(t)={{\log }_{2}}t+t$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.
Khi đó (*) $\Leftrightarrow 1-{{y}^{2}}=x$, suy ra: $P=\dfrac{x+\sqrt{9{{\text{x}}^{2}}+1}}{8{{\text{x}}^{2}}+1}=\dfrac{1}{\sqrt{9{{\text{x}}^{2}}+1}-x}=\dfrac{1}{g(x)}$ với $x>0$.
Xét hàm số $g(x)=\sqrt{9{{\text{x}}^{2}}+1}-x$ với $\text{x}>0$.
Ta có: ${g}'(x)=\dfrac{9\text{x}}{\sqrt{9{{\text{x}}^{2}}+1}}-1=0\Leftrightarrow 9{{x}^{2}}+1=81{{\text{x}}^{2}}\xrightarrow{x>0}x=\dfrac{\sqrt{2}}{12}$.
Lập bảng biến thiên, suy ra: $\underset{(0;+\infty )}{\mathop{\min }} g(x)=g\left( \dfrac{\sqrt{2}}{12} \right)=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
Khi đó ${{P}_{\max }}=\dfrac{1}{\underset{(0;+\infty )}{\mathop{\min }} g(x)}=\dfrac{3}{2\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{{{2}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{b}}{{{c}^{2}}}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=3 \\
& b=c=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow T=7$.
& x>0 \\
& y\in (-1;1) \\
\end{aligned} \right.$. Khi đó điều kiện bài toán tương đương:
${{\log }_{2}}(1-{{y}^{2}})+3(1-{{y}^{2}})={{\log }_{2}}x+3\text{x}\Leftrightarrow f(1-{{y}^{2}})=f(x)$ (*) với $f(t)={{\log }_{2}}t+t$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.
Khi đó (*) $\Leftrightarrow 1-{{y}^{2}}=x$, suy ra: $P=\dfrac{x+\sqrt{9{{\text{x}}^{2}}+1}}{8{{\text{x}}^{2}}+1}=\dfrac{1}{\sqrt{9{{\text{x}}^{2}}+1}-x}=\dfrac{1}{g(x)}$ với $x>0$.
Xét hàm số $g(x)=\sqrt{9{{\text{x}}^{2}}+1}-x$ với $\text{x}>0$.
Ta có: ${g}'(x)=\dfrac{9\text{x}}{\sqrt{9{{\text{x}}^{2}}+1}}-1=0\Leftrightarrow 9{{x}^{2}}+1=81{{\text{x}}^{2}}\xrightarrow{x>0}x=\dfrac{\sqrt{2}}{12}$.
Lập bảng biến thiên, suy ra: $\underset{(0;+\infty )}{\mathop{\min }} g(x)=g\left( \dfrac{\sqrt{2}}{12} \right)=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
Khi đó ${{P}_{\max }}=\dfrac{1}{\underset{(0;+\infty )}{\mathop{\min }} g(x)}=\dfrac{3}{2\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{{{2}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{b}}{{{c}^{2}}}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=3 \\
& b=c=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow T=7$.
Đáp án D.