Cho x, y là các số thực và x dương thỏa mãn ${{\log...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho x, y là các số thực và x dương thỏa mãn

\log_{2} \frac{1 - y^{2}}{x} = 3 (x + y^{2} - 1)

. Biết giá trị lớn nhất của biểu thức

P = \frac{1 - y^{2} + \sqrt{9 x^{2} + 1}}{8 x^{2} + y^{2} + x}

bằng

\frac{a \sqrt{b}}{c^{2}}

với a, b, c là các số nguyên tố. Tính giá trị của biểu thức

T = a + b + c

.
A.

T = 8

B.

T = 10

C.

T = 12

D.

T = 7

Điều kiện:

{\begin{aligned} x > 0 \\ y \in (- 1; 1) \end{aligned}

. Khi đó điều kiện bài toán tương đương:

\log_{2} (1 - y^{2}) + 3 (1 - y^{2}) = \log_{2} x + 3 x \Leftrightarrow f (1 - y^{2}) = f (x)

(*) với

f (t) = \log_{2} t + t

đồng biến trên

(0; + \infty)

.
Khi đó (*)

\Leftrightarrow 1 - y^{2} = x

, suy ra:

P = \frac{x + \sqrt{9 x^{2} + 1}}{8 x^{2} + 1} = \frac{1}{\sqrt{9 x^{2} + 1} - x} = \frac{1}{g (x)}

với

x > 0

.
Xét hàm số

g (x) = \sqrt{9 x^{2} + 1} - x

với

x > 0

.
Ta có:

g^{'} (x) = \frac{9 x}{\sqrt{9 x^{2} + 1}} - 1 = 0 \Leftrightarrow 9 x^{2} + 1 = 81 x^{2} \overset{x > 0}{\to} x = \frac{\sqrt{2}}{12}

.
Lập bảng biến thiên, suy ra:

min_{(0; + \infty)} g (x) = g (\frac{\sqrt{2}}{12}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3}

Khi đó

P_{max} = \frac{1}{min_{(0; + \infty)} g (x)} = \frac{3}{2 \sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{2}}{2^{2}} = \frac{a \sqrt{b}}{c^{2}} \Rightarrow {\begin{aligned} a = 3 \\ b = c = 2 \end{aligned} \Rightarrow T = 7

.

Đáp án D.