Google
Câu hỏi: Cho $x,y$ là các số thực thoả mãn ${{\log }_{9}}x={{\log }_{12}}y={{\log }_{16}}\left( x+3y \right)$. Tính giá trị $\dfrac{x}{y}$.
A. $\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$.
B. $\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}$.
C. $\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}$.
D. $\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$.
A. $\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$.
B. $\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}$.
C. $\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}$.
D. $\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$.
Đặt ${{\log }_{9}}x={{\log }_{12}}y={{\log }_{16}}\left( x+3y \right)=t$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x={{9}^{t}} \\
& y={{12}^{t}} \\
& x+3y={{16}^{t}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \dfrac{x}{y}={{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{t}}>0$.
Theo đề bài ta có phương trình
${{9}^{t}}+{{3.12}^{t}}={{16}^{t}}$ $\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{t}}+3={{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{t}}$ $\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{2t}}+3{{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{t}}-1=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{t}}=\dfrac{\sqrt{13}-3}{2} \\
& {{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{t}}=\dfrac{-\sqrt{13}-3}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có: ${{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{t}}=\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}<0$ nên không thoả mãn và ${{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{t}}=\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}>0$ nên thoả mãn.
Vậy $\dfrac{x}{y}=\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}$.
& x={{9}^{t}} \\
& y={{12}^{t}} \\
& x+3y={{16}^{t}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \dfrac{x}{y}={{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{t}}>0$.
Theo đề bài ta có phương trình
${{9}^{t}}+{{3.12}^{t}}={{16}^{t}}$ $\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{t}}+3={{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{t}}$ $\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{2t}}+3{{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{t}}-1=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{t}}=\dfrac{\sqrt{13}-3}{2} \\
& {{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{t}}=\dfrac{-\sqrt{13}-3}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có: ${{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{t}}=\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}<0$ nên không thoả mãn và ${{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{t}}=\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}>0$ nên thoả mãn.
Vậy $\dfrac{x}{y}=\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}$.
Đáp án B.