Google
Câu hỏi: Cho $x,y$ là các số thực thỏa mãn ${{\left( 2x+y \right)}^{2}}{{.2}^{5{{x}^{2}}+2xy+2{{y}^{2}}-9}}+{{\left( x-y \right)}^{2}}=9.$ Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\dfrac{x-1}{4x-y-9}$ bằng
A. $\dfrac{1}{6}.$
B. $\dfrac{1}{4}.$
C. $\dfrac{1}{3}.$
D. $\dfrac{1}{2}.$
A. $\dfrac{1}{6}.$
B. $\dfrac{1}{4}.$
C. $\dfrac{1}{3}.$
D. $\dfrac{1}{2}.$
Ta có ${{\left( 2x+y \right)}^{2}}{{.2}^{5{{x}^{2}}+2xy+2{{y}^{2}}-9}}+{{\left( x-y \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow {{\left( 2x+y \right)}^{2}}{{.2}^{{{\left( 2x+y \right)}^{2}}}}=\left[ 9-{{\left( x-y \right)}^{2}} \right]{{.2}^{9-{{\left( x-y \right)}^{2}}}}\left( * \right)$
Xét hàm đặc trưng $g\left( u \right)=u{{.2}^{u}}$ với $u>0,$ ta có $g'\left( u \right)={{2}^{u}}+\dfrac{u{{.2}^{u}}}{\ln 2}>0\forall u>0.$ Do đó $\left( * \right)$ xảy ra khi ${{\left( 2x+y \right)}^{2}}=9-{{\left( x-y \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( 2x+y \right)}^{2}}+{{\left( x-y \right)}^{2}}=9.$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& 2x+y=3\sin t \\
& x-y=3\cos t \\
\end{aligned} \right. $ suy ra $ P=\dfrac{\sin t+\cos t-1}{3\sin t+6\cos t-9};t\in R\left( 1 \right).$
Ta có $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left( 3P-1 \right)\sin t+\left( 6P-1 \right)\cos t=9P-1$ do $3\sin t+6\cos t-9\ne 0\forall t\in R.$ Phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm khi ${{\left( 3P-1 \right)}^{2}}+{{\left( 6P-1 \right)}^{2}}\ge {{\left( 9P-1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 36{{P}^{2}}-1\le 0\Leftrightarrow \dfrac{-1}{6}\le P\le \dfrac{1}{6}.$
Suy ra giá trị lớn nhất của $P$ là $\dfrac{1}{6}.$
Xét hàm đặc trưng $g\left( u \right)=u{{.2}^{u}}$ với $u>0,$ ta có $g'\left( u \right)={{2}^{u}}+\dfrac{u{{.2}^{u}}}{\ln 2}>0\forall u>0.$ Do đó $\left( * \right)$ xảy ra khi ${{\left( 2x+y \right)}^{2}}=9-{{\left( x-y \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( 2x+y \right)}^{2}}+{{\left( x-y \right)}^{2}}=9.$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& 2x+y=3\sin t \\
& x-y=3\cos t \\
\end{aligned} \right. $ suy ra $ P=\dfrac{\sin t+\cos t-1}{3\sin t+6\cos t-9};t\in R\left( 1 \right).$
Ta có $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left( 3P-1 \right)\sin t+\left( 6P-1 \right)\cos t=9P-1$ do $3\sin t+6\cos t-9\ne 0\forall t\in R.$ Phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm khi ${{\left( 3P-1 \right)}^{2}}+{{\left( 6P-1 \right)}^{2}}\ge {{\left( 9P-1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 36{{P}^{2}}-1\le 0\Leftrightarrow \dfrac{-1}{6}\le P\le \dfrac{1}{6}.$
Suy ra giá trị lớn nhất của $P$ là $\dfrac{1}{6}.$
Đáp án A.