Google
Câu hỏi: Cho $x,y$ là các số thực thỏa mãn $16^{y}+4^{1-x^{2}} \geq 4^{-2 y}+4^{x^{2}-1}-2\left(x^{2}-2 y-1\right)$. Có bao nhiêu số
nguyên dương $y$ sao cho với mỗi giá trị nguyên dương đó của $y$ ta tìm được không quá 2021 giá trị nguyên của $x$ ?
A. 511060.
B. 510049.
C. 510048.
D. 511059.
- Ta có: $16^{y}+4^{1-x^{2}} \geq 4^{-2 y}+4^{x^{2}-1}-2\left(x^{2}-2 y-1\right)$
$\Leftrightarrow 4^{2 y}-4^{-2 y}-2 .(2 y) \geq 4^{x^{2}-1}-4^{1-x^{2}}-2\left(x^{2}-1\right)$
Xét hàm đặc trưng $y=g(t)=4^{t}-4^{-t}-2 t$ có $g^{\prime}(t)=\left(4^{t}+4^{-t}\right) \ln 4-2$
Ta thấy: $\lim _{t \rightarrow+\infty}\left(4^{t}-4^{-t}\right)-2 t=+\infty$ ; $\lim _{t \rightarrow-\infty}\left(4^{t}-4^{-t}\right)-2 t=-\infty$ nên suy ra hàm $g(t)$ luôn đồng biến trên $R \Rightarrow g(2 y) \geq g\left(x^{2}-1\right) \Leftrightarrow 2 y \geq x^{2}-1$ (1).
Ta có: $y>0$ nên suy ra $y$ chạy từ 1 trở đi
Ta có thể thử từng đáp án như sau:
- Với đáp án A thì
$\Rightarrow y \in[1 ; 511060] \Leftrightarrow 2.511060 \geq x^{2}-1 \Leftrightarrow-\sqrt{2.511060+1} \leq x \leq \sqrt{2.511060+1}$
$\Leftrightarrow-1011 \leq x \leq 1011$ suy ra có 2023 giá trị nguyên của $x$
- Với đáp án $\mathrm{B}$ thì
$\Rightarrow y \in[1 ; 510049] \Leftrightarrow 2.510049 \geq x^{2}-1 \Leftrightarrow-\sqrt{2.510049+1} \leq x \leq \sqrt{2.510049+1}$
$\Leftrightarrow-1009 \leq x \leq 1009$ suy ra có 2019 giá trị nguyên của $x$
- Với đáp án $\mathrm{C}$ thì
$\Rightarrow y \in[1 ; 510048] \Leftrightarrow 2.510048 \geq x^{2}-1 \Leftrightarrow-\sqrt{2.510048+1} \leq x \leq \sqrt{2.510048+1}$
$\Leftrightarrow-1009 \leq x \leq 1009$ suy ra có 2019 giá trị nguyên của $x$
- Với đáp án D thì
$\Rightarrow y \in[1 ; 511059] \Leftrightarrow 2.511059 \geq x^{2}-1 \Leftrightarrow-\sqrt{2.511059+1} \leq x \leq \sqrt{2.511059+1}$
$\Leftrightarrow-1010 \leq x \leq 1010$ suy ra có 2021 giá trị nguyên của $x$
Như vậy ta chỉ lấy số lượng giá trị nguyên của $x$ gần với 2020 nhất nhưng không quá 2020 giá trị nên chỉ có đáp án $\mathrm{D}$ thỏa mãn.
nguyên dương $y$ sao cho với mỗi giá trị nguyên dương đó của $y$ ta tìm được không quá 2021 giá trị nguyên của $x$ ?
A. 511060.
B. 510049.
C. 510048.
D. 511059.
- Ta có: $16^{y}+4^{1-x^{2}} \geq 4^{-2 y}+4^{x^{2}-1}-2\left(x^{2}-2 y-1\right)$
$\Leftrightarrow 4^{2 y}-4^{-2 y}-2 .(2 y) \geq 4^{x^{2}-1}-4^{1-x^{2}}-2\left(x^{2}-1\right)$
Xét hàm đặc trưng $y=g(t)=4^{t}-4^{-t}-2 t$ có $g^{\prime}(t)=\left(4^{t}+4^{-t}\right) \ln 4-2$
Ta thấy: $\lim _{t \rightarrow+\infty}\left(4^{t}-4^{-t}\right)-2 t=+\infty$ ; $\lim _{t \rightarrow-\infty}\left(4^{t}-4^{-t}\right)-2 t=-\infty$ nên suy ra hàm $g(t)$ luôn đồng biến trên $R \Rightarrow g(2 y) \geq g\left(x^{2}-1\right) \Leftrightarrow 2 y \geq x^{2}-1$ (1).
Ta có: $y>0$ nên suy ra $y$ chạy từ 1 trở đi
Ta có thể thử từng đáp án như sau:
- Với đáp án A thì
$\Rightarrow y \in[1 ; 511060] \Leftrightarrow 2.511060 \geq x^{2}-1 \Leftrightarrow-\sqrt{2.511060+1} \leq x \leq \sqrt{2.511060+1}$
$\Leftrightarrow-1011 \leq x \leq 1011$ suy ra có 2023 giá trị nguyên của $x$
- Với đáp án $\mathrm{B}$ thì
$\Rightarrow y \in[1 ; 510049] \Leftrightarrow 2.510049 \geq x^{2}-1 \Leftrightarrow-\sqrt{2.510049+1} \leq x \leq \sqrt{2.510049+1}$
$\Leftrightarrow-1009 \leq x \leq 1009$ suy ra có 2019 giá trị nguyên của $x$
- Với đáp án $\mathrm{C}$ thì
$\Rightarrow y \in[1 ; 510048] \Leftrightarrow 2.510048 \geq x^{2}-1 \Leftrightarrow-\sqrt{2.510048+1} \leq x \leq \sqrt{2.510048+1}$
$\Leftrightarrow-1009 \leq x \leq 1009$ suy ra có 2019 giá trị nguyên của $x$
- Với đáp án D thì
$\Rightarrow y \in[1 ; 511059] \Leftrightarrow 2.511059 \geq x^{2}-1 \Leftrightarrow-\sqrt{2.511059+1} \leq x \leq \sqrt{2.511059+1}$
$\Leftrightarrow-1010 \leq x \leq 1010$ suy ra có 2021 giá trị nguyên của $x$
Như vậy ta chỉ lấy số lượng giá trị nguyên của $x$ gần với 2020 nhất nhưng không quá 2020 giá trị nên chỉ có đáp án $\mathrm{D}$ thỏa mãn.
Đáp án D.