Google
Câu hỏi: Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn ${{5}^{x+2y}}+\dfrac{3}{{{3}^{xy}}}+x+1=\dfrac{{{5}^{xy}}}{5}+{{3}^{-x-2y}}+y\left( x-2 \right).$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x+y.$
A. $2+3\sqrt{2}.$
B. $3+2\sqrt{3}.$
C. $1+\sqrt{5}.$
D. $5+3\sqrt{2}.$
A. $2+3\sqrt{2}.$
B. $3+2\sqrt{3}.$
C. $1+\sqrt{5}.$
D. $5+3\sqrt{2}.$
Ta có ${{5}^{x+2y}}-\dfrac{1}{{{3}^{x+2y}}}+x+2y={{5}^{xy-1}}-\dfrac{1}{{{3}^{xy-1}}}+xy-1$ (1)
Xét hàm số $f\left( t \right)={{5}^{t}}-\dfrac{1}{{{3}^{t}}}+t$, với $t>0$ có ${f}'\left( t \right)={{5}^{t}}\ln 5-{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{t}}\ln \dfrac{1}{3}+1>0,\forall t>0.$
Khi đó (1) $\Leftrightarrow x+2y=xy-1\Leftrightarrow y\left( x-2 \right)=x+1\Rightarrow x>2$ và $y=\dfrac{x+1}{x-2}$.
$\Rightarrow P=x+\dfrac{x+1}{x-2}=x+1+\dfrac{3}{x-2}=\left( x-2 \right)+\dfrac{3}{x-2}+3\ge 2\sqrt{3}+3.$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
y=\dfrac{x+1}{x-2} \\
x-2=\sqrt{3} \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
y=1+\sqrt{3} \\
x=2+\sqrt{3} \\
\end{array} \right.$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{5}^{t}}-\dfrac{1}{{{3}^{t}}}+t$, với $t>0$ có ${f}'\left( t \right)={{5}^{t}}\ln 5-{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{t}}\ln \dfrac{1}{3}+1>0,\forall t>0.$
Khi đó (1) $\Leftrightarrow x+2y=xy-1\Leftrightarrow y\left( x-2 \right)=x+1\Rightarrow x>2$ và $y=\dfrac{x+1}{x-2}$.
$\Rightarrow P=x+\dfrac{x+1}{x-2}=x+1+\dfrac{3}{x-2}=\left( x-2 \right)+\dfrac{3}{x-2}+3\ge 2\sqrt{3}+3.$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
y=\dfrac{x+1}{x-2} \\
x-2=\sqrt{3} \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
y=1+\sqrt{3} \\
x=2+\sqrt{3} \\
\end{array} \right.$.
Đáp án B.