Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn ${{\log...

Phương pháp:
- Biến đổi, xét hàm đặc trưng $f(t)={{\log }_{2}}t+t(t>0).$
- Sử dụng BĐT ${{(x+y)}^{2}}\le 2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right),$ kẹp khoảng giá trị của $x+y.$.
- Biến đổi biểu thức $P=2+\dfrac{x+y-4}{2x+y+1}.$, đánh giá và suy ra GTLN của P.
Cách giải:
Ta có:
${{\log }_{2}}\dfrac{3x+3y+4}{{{x}^{2}}+{{y}^{3}}}=(x+y-1)(2x+2y-1)-4(xy+1)$
$\begin{array}{*{35}{l}}
\Leftrightarrow {{\log }_{2}}(3x+3y+4)-{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=(x+y-1)[2(x+y)-1]-4(xy+1) \\
\Leftrightarrow {{\log }_{2}}(3x+3y+4)-{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=2{{(x+y)}^{2}}-3(x+y)+1-4(xy+1) \\
\Leftrightarrow {{\log }_{2}}(3x+3y+4){{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)4xy(3x+3y)+1 \\
\end{array}$
$\begin{array}{*{35}{l}}
\Leftrightarrow {{\log }_{2}}(3x+3y+4)-{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)-(3x+3y+4)+1 \\
\Leftrightarrow {{\log }_{2}}(3x+3y+4)+(3x+3y+4)={{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)+2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)+{{\log }_{2}}2 \\
\Leftrightarrow {{\log }_{2}}(3x+3y+4)+(3x+3y+4)={{\log }_{2}}\left( 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}} \right)+\left( 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}} \right)(*) \\
\end{array}$
Xét hàm số đặc trưng $f(t)={{\log }_{2}}t+t(t>0)\text{ ta c }\!\!\acute{\mathrm{o}}\!\!\text{ }{{f}^{\prime }}(t)=\dfrac{1}{t\ln 2}+1>0\forall t>0$
$\Rightarrow $ Hàm số $y=f(t)$ luôn đồng biến trên $(0;+\infty )$
Do đó $(*)\Leftrightarrow 3x+3y+4=2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}$.
Ta có: ${{(x+y)}^{2}}\le 2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=3x+3y+4$.
$\Leftrightarrow {{(x+y)}^{2}}-3(x+y)-4\le 0\Leftrightarrow -1\le x+y\le 4$.
Kết hợp điều kiện để bài ta có $0<x+y=4.~$
Xét biểu thức $P=\dfrac{5x+3y-2}{2x+y+1}=\dfrac{2(2x+y+1)+x+y-4}{2x+y+1}=2+\dfrac{x+y-4}{2x+y+1}.$
Do $x+y\le 4\Leftrightarrow x+y-4\le 0\Leftrightarrow \dfrac{x+y-4}{2x+y+1}\le 0\Rightarrow P\le 2.$
Vậy ${{P}_{\max }}=2\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x+y=4 \\
x=y \\
\end{array}\Leftrightarrow x=y=2 \right.$