Cho $x, y$ là các số thực dương thỏa mãn ${{\log...

The Knowledge · 16/12/21

Câu hỏi: Cho

x, y

là các số thực dương thỏa mãn

\log_{3} \frac{2 x + y + 1}{x + y} = x + 2 y .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

T = \frac{1}{x} + \frac{2}{\sqrt{y}}

.
A.

3 + \sqrt{3} .

B. 4.
C.

3 + 2 \sqrt{3} .

D. 6.

Ta có

\log_{3} \frac{2 x + y + 1}{x + y} = x + 2 y

\Leftrightarrow \log_{3} (2 x + y + 1) - \log_{3} (x + y) = x + 2 y

\Leftrightarrow \log_{3} (2 x + y + 1) = \log_{3} (3 x + 3 y) + x + 2 y - 1

\Leftrightarrow \log_{3} (2 x + y + 1) + 2 x + y + 1 = \log_{3} (3 x + 3 y) + 3 x + 3 y \Leftrightarrow f (2 x + y + 1) = f (3 x + 3 y) .

Xét hàm số

f (t) = \log_{3} t + t

, với

t > 0

ta có

f^{'} (t) = \frac{1}{t \ln 3} + 1 > 0, \forall t > 0 \Rightarrow f (t)

đồng biến trên

(0; + \infty)

\Rightarrow 2 x + y + 1 = 3 x + 3 y \Leftrightarrow x + 2 y = 1 \Leftrightarrow x = 1 - 2 y \Rightarrow T = \frac{1}{x} + \frac{2}{\sqrt{y}} = \frac{1}{1 - 2 y} + \frac{2}{\sqrt{y}} .

Vì

x, y > 0 \Rightarrow 0 < y < \frac{1}{2}

. Xét hàm số

g (y) = \frac{1}{2 y - 1} + \frac{2}{\sqrt{y}}

, với

y \in (0; \frac{1}{2})

ta có

g^{'} (y) = \frac{2}{{(2 y - 1)}^{2}} - \frac{2}{y} . \frac{1}{2 \sqrt{y}} = 0 \Rightarrow {(2 y - 1)}^{4} = 4 y^{3} \Leftrightarrow 2 {(2 y - 1)}^{4} = {(2 y)}^{3} .

Đặt

u = 2 y - 1 \in (- 1; 0) \Rightarrow 2 u^{4} = {(u + 1)}^{3} \Leftrightarrow 2 u^{4} - u^{3} - 3 u^{2} - 3 u - 1 = 0

\Leftrightarrow u^{3} (2 u + 1) - u^{2} (2 u + 1) - u (2 u + 1) - (2 u + 1) = 0

\Leftrightarrow (2 u + 1) (u^{3} - u^{2} - u - 1) = 0.

Với

- 1 < u < 0 \Rightarrow u^{3} - u^{2} - u - 1 = u^{3} - {(u + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{3}{4} < 0 + 0 - \frac{3}{4} < 0 \Rightarrow u = - \frac{1}{2} \Rightarrow y = \frac{1}{4} .

Từ đó

g (y) \geq g (\frac{1}{4}) = 6 \Rightarrow T \geq 6,

dấu "=" xảy ra

\Leftrightarrow {\begin{aligned} y = \frac{1}{4} \\ x = \frac{1}{2} \end{aligned}

.

Đáp án D.

Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn ${{\log...