Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn ${{\log }_{2}}x+{{\log }_{2}}y+1\ge {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+2y \right).$ Giá trị nhỏ nhất của biểu...

(VDC) – Bất phương trình mũ và phương trình lôgarit
Cách giải:
Theo bài ra ta có:
${{\log }_{2}}x+{{\log }_{2}}y\ge {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+2y \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 2xy \right)\ge {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+2y \right)$
$\Leftrightarrow 2xy\ge {{x}^{2}}+2y$
$\Leftrightarrow 2y\left( x-1 \right)\ge {{x}^{2}}$
Nếu $x\le 1,$ khi đó ta có $VT\le 0,VP>0$ (vô lí) $\Rightarrow x>1.$
$\Rightarrow 2y\ge \dfrac{{{x}^{2}}}{x-1}\left( x>1 \right)$
$\Rightarrow x+2y\ge x+\dfrac{{{x}^{2}}}{x-1}=f\left( x \right)\left( x>1 \right)$
Ta có:
$f'\left( x \right)=1+\dfrac{2x\left( x-1 \right)-{{x}^{2}}}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$
$f'\left( x \right)=1+\dfrac{{{x}^{2}}-2x}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=\dfrac{2{{x}^{2}}-4x+1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$
$f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-4x+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}>1 \\
& x=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}<1\left( ktm \right) \\
\end{aligned} \right.$
BBT:

Dựa vào BBT ta thấy $f\left( x \right)\ge 3+2\sqrt{2}\Leftrightarrow x+2y\ge 3+2\sqrt{2}.$