Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn ${{\log }_{2}}x=3{{\log...

Đặt ${{\log }_{2}}x=3{{\log }_{6}}y=3\log \left( x+y \right)=3t$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x={{8}^{t}} \\
& y={{6}^{t}} \\
& x+y={{10}^{t}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{8}^{t}}+{{6}^{t}}={{10}^{t}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{t}}+{{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{t}}={{1}_{{}}}\left( 1 \right)$
Nhận xét: $t=2$ là nghiệm của phương trình (1).
Với $t>2:{{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{t}}+{{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{t}}<{{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{2}}=1$
Vậy $t>2$ không là nghiệm của phương trình (1).
Với $t<2:{{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{t}}+{{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{t}}>{{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{2}}=1$
Vậy $t<2$ không là nghiệm của phương trình (1).
Vậy $t=2$ là nghiệm duy nhất của (1).
Khi đó, ta có $\left\{ \begin{aligned}
& x={{8}^{2}}=64 \\
& y={{6}^{2}}=36 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow T=x-y=28$