Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn ${{\log }_{2}}\dfrac{3x+3y+4}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\left(x+y-1 \right)\left(2x+2y-1 \right)-4\left( xy+1...

Phương pháp:
- Biến đổi, xét hàm đặc trưng $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t\left( t>0 \right)$.
- Sử dụng BĐT ${{\left( x+y \right)}^{2}}\le 2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right),$ kẹp khoảng giá trị của $x+y.$
- Biến đổi biểu thức $P=2+\dfrac{x+y-4}{2x+y+1},$ đánh giá và suy luận ra GTLN của P.
Cách giải:
Ta có:
${{\log }_{2}}\dfrac{3x+3y+4}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\left( x+y-1 \right)\left( 2x+2y-1 \right)-4\left( xy+1 \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 3x+3y+4 \right)-{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=\left( x+y-1 \right)\left[ 2\left( x+y \right)-1 \right]-4\left( xy+1 \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 3x+3y+4 \right)-{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=2{{\left( x+y \right)}^{2}}-3\left( x+y \right)+1-4\left( xy+1 \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 3x+3y+4 \right)-{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)+4xy-\left( 3x+3y \right)+1-4xy-4$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 3x+3y+4 \right)-{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)-\left( 3x+3y+4 \right)+1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 3x+3y+4 \right)+\left( 3x+3y+4 \right)={{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)+2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)+{{\log }_{2}}2$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 3x+3y+4 \right)+\left( 3x+3y+4 \right)={{\log }_{2}}\left( 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}} \right)+\left( 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}} \right)\left( * \right)$
Xét hàm số đặc trưng $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t\left( t>0 \right)$ ta có $f'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 2}+1>0\forall t>0.$
$\Rightarrow $ Hàm số $y=f\left( t \right)$ luôn đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right).$
Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow 3x+3y+4=2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}.$
Ta có: ${{\left( x+y \right)}^{2}}\le 2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=3x+3y+4.$
$\Leftrightarrow {{\left( x+y \right)}^{2}}-3\left( x+y \right)-4\le 0\Leftrightarrow -1\le x+y\le 4.$
Kết hợp với điều kiện đề bài ta có $0<x+y\le 4.$
Xét biểu thức: $P=\dfrac{5x+3y-2}{2x+y+1}=\dfrac{2\left( 2x+y+1 \right)+x+y-4}{2x+y+1}=2+\dfrac{x+y-4}{2x+y+1}.$
Do $x+y\le 4\Leftrightarrow x+y-4\le 0\Leftrightarrow \dfrac{x+y-4}{2x+y+1}\le 0\Leftrightarrow P\le 2.$
Vậy ${{P}_{max}}=2\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x+y=4 \\
& x=y \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=y=2.$