Google
Câu hỏi: Cho $x;y$ là các số nguyên dương nhỏ hơn $2023$. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị của $y$ thoả mãn: Với mỗi giá trị của $y$ luôn có ít nhất 100 giá trị không nhỏ hơn 3 của $x$ thoả mãn $\left( {{2}^{x+{{y}^{2}}}}-{{2}^{{{y}^{2}}-x}} \right){{\log }_{x}}y>{{4}^{\dfrac{2{{y}^{2}}-1}{2}}}-\dfrac{1}{2}$, đồng thời các tập hợp có $y$ phần tử có tập con lớn hơn 2048. Số phần tử của tập $S$ là
A. $32$.
B. $1921$.
C. $1912$.
D. $33$.
A. $32$.
B. $1921$.
C. $1912$.
D. $33$.
Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& x,y\in \mathbb{N}*;x,y<2023 \\
& x\ge 3 \\
& {{2}^{y}}>2048 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x,y\in \mathbb{N}* \\
& 3\le x<2023 \\
& 11<y<2023 \\
\end{aligned} \right.$.
Bất phương trình đã cho $\Leftrightarrow \left( {{2}^{x}}-{{2}^{-x}} \right){{\log }_{x}}y>{{2}^{{{y}^{2}}-1}}-{{2}^{-1-{{y}^{2}}}}$
$\Leftrightarrow \left( {{2}^{x}}-{{2}^{-x}} \right)\dfrac{{{\log }_{2}}y}{{{\log }_{2}}x}>\dfrac{{{2}^{{{y}^{2}}}}-{{2}^{-{{y}^{2}}}}}{2}$ $\Leftrightarrow \dfrac{{{2}^{x}}-{{2}^{-x}}}{{{\log }_{2}}x}>\dfrac{{{2}^{{{y}^{2}}}}-{{2}^{-{{y}^{2}}}}}{{{\log }_{2}}{{y}^{2}}}$ (1)
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{{{2}^{t}}-{{2}^{-t}}}{{{\log }_{2}}t},t\ge 3$, có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{\left( {{2}^{t}}.\ln 2+{{2}^{-t}}.\ln 2 \right){{\log }_{2}}t-\dfrac{\left( {{2}^{t}}-{{2}^{-t}} \right)t}{\ln 2}}{\log _{2}^{2}t}>0;\forall t\ge 3$.
$\Rightarrow $ Hàm số $f\left( t \right)$ luôn đồng biến trên $\left[ 3;+\infty \right)$.
Khi đó bất phương trình $\left( 1 \right)\Leftrightarrow x>{{y}^{2}}$.
+ Với $y=12$ thì $x>{{12}^{2}}\Leftrightarrow x>144$ $\Rightarrow x\in \left\{ 145; 146; ...; \right.\left. 2022 \right\}$ $\Rightarrow $ có 1878 số $x$.
+ Với $y=13$ thì $x>{{13}^{2}}\Leftrightarrow x>169$ $\Rightarrow x\in \left\{ 170; 171; ...; \right.\left. 2022 \right\}$ $\Rightarrow $ có 1853 số $x$.
+ Với $y=43$ thì $x>{{43}^{2}}\Leftrightarrow x>1849$ $\Rightarrow x\in \left\{ 1850; 1851; ... \right.\left. 2022 \right\}$ $\Rightarrow $ có 173 số $x$.
+Với $y=44$ thì $x>{{44}^{2}}\Leftrightarrow x>1936$ $\Rightarrow x\in \left\{ 1937; 1938; ...; \right.\left. 2022 \right\}$ $\Rightarrow $ có 86 số $x$ (Loại)
Vậy $y\in \left\{ 12; 13; ...; 43 \right\}\Rightarrow $ Có 32 số nguyên $y$.
& x,y\in \mathbb{N}*;x,y<2023 \\
& x\ge 3 \\
& {{2}^{y}}>2048 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x,y\in \mathbb{N}* \\
& 3\le x<2023 \\
& 11<y<2023 \\
\end{aligned} \right.$.
Bất phương trình đã cho $\Leftrightarrow \left( {{2}^{x}}-{{2}^{-x}} \right){{\log }_{x}}y>{{2}^{{{y}^{2}}-1}}-{{2}^{-1-{{y}^{2}}}}$
$\Leftrightarrow \left( {{2}^{x}}-{{2}^{-x}} \right)\dfrac{{{\log }_{2}}y}{{{\log }_{2}}x}>\dfrac{{{2}^{{{y}^{2}}}}-{{2}^{-{{y}^{2}}}}}{2}$ $\Leftrightarrow \dfrac{{{2}^{x}}-{{2}^{-x}}}{{{\log }_{2}}x}>\dfrac{{{2}^{{{y}^{2}}}}-{{2}^{-{{y}^{2}}}}}{{{\log }_{2}}{{y}^{2}}}$ (1)
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{{{2}^{t}}-{{2}^{-t}}}{{{\log }_{2}}t},t\ge 3$, có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{\left( {{2}^{t}}.\ln 2+{{2}^{-t}}.\ln 2 \right){{\log }_{2}}t-\dfrac{\left( {{2}^{t}}-{{2}^{-t}} \right)t}{\ln 2}}{\log _{2}^{2}t}>0;\forall t\ge 3$.
$\Rightarrow $ Hàm số $f\left( t \right)$ luôn đồng biến trên $\left[ 3;+\infty \right)$.
Khi đó bất phương trình $\left( 1 \right)\Leftrightarrow x>{{y}^{2}}$.
+ Với $y=12$ thì $x>{{12}^{2}}\Leftrightarrow x>144$ $\Rightarrow x\in \left\{ 145; 146; ...; \right.\left. 2022 \right\}$ $\Rightarrow $ có 1878 số $x$.
+ Với $y=13$ thì $x>{{13}^{2}}\Leftrightarrow x>169$ $\Rightarrow x\in \left\{ 170; 171; ...; \right.\left. 2022 \right\}$ $\Rightarrow $ có 1853 số $x$.
+ Với $y=43$ thì $x>{{43}^{2}}\Leftrightarrow x>1849$ $\Rightarrow x\in \left\{ 1850; 1851; ... \right.\left. 2022 \right\}$ $\Rightarrow $ có 173 số $x$.
+Với $y=44$ thì $x>{{44}^{2}}\Leftrightarrow x>1936$ $\Rightarrow x\in \left\{ 1937; 1938; ...; \right.\left. 2022 \right\}$ $\Rightarrow $ có 86 số $x$ (Loại)
Vậy $y\in \left\{ 12; 13; ...; 43 \right\}\Rightarrow $ Có 32 số nguyên $y$.
Đáp án A.