Google
Câu hỏi: Cho $x,y$ là các số dương $xy\le 4y-1$. Giá trị nhỏ nhất của $P=\dfrac{6\left( 2x+y \right)}{x}+\ln \dfrac{x+2y}{y}$ là $a+\ln b\left( a,b\in \mathbb{Q} \right)$. Tích $ab$ bằng
A. 115.
B. 45.
C. 108.
D. 81.
A. 115.
B. 45.
C. 108.
D. 81.
Ta có $xy\le 4y-1\Leftrightarrow \dfrac{x}{y}\le \dfrac{4}{y}-\dfrac{1}{{{y}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{x}{y}\le 4-{{\left( 2-\dfrac{1}{y} \right)}^{2}}\le 4\Rightarrow 0<\dfrac{x}{y}\le 4$
Lại có $P=12+6.\dfrac{y}{x}+\ln \left( \dfrac{x}{y}+2 \right)=12+\dfrac{6}{t}+\ln \left( t+2 \right)=f\left( t \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{6}{t}+\ln \left( t+1 \right)+12$ trên $\left( 0;4 \right]$, có ${f}'\left( t \right)=-\dfrac{6}{{{t}^{2}}}+\dfrac{1}{t+2}<0$ ;
Suy ra $f\left( t \right)$ là hàm số nghịch biến trên $\left( 0;4 \right)$ $\Rightarrow \underset{\left( 0;4 \right]}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=f\left( 4 \right)=\dfrac{27}{2}+\ln 6$
Vậy ${{P}_{\min }}=a+\ln b=\dfrac{27}{2}+\ln 6\Rightarrow a=\dfrac{27}{2};b=6\Rightarrow ab=81$.
Lại có $P=12+6.\dfrac{y}{x}+\ln \left( \dfrac{x}{y}+2 \right)=12+\dfrac{6}{t}+\ln \left( t+2 \right)=f\left( t \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{6}{t}+\ln \left( t+1 \right)+12$ trên $\left( 0;4 \right]$, có ${f}'\left( t \right)=-\dfrac{6}{{{t}^{2}}}+\dfrac{1}{t+2}<0$ ;
Suy ra $f\left( t \right)$ là hàm số nghịch biến trên $\left( 0;4 \right)$ $\Rightarrow \underset{\left( 0;4 \right]}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=f\left( 4 \right)=\dfrac{27}{2}+\ln 6$
Vậy ${{P}_{\min }}=a+\ln b=\dfrac{27}{2}+\ln 6\Rightarrow a=\dfrac{27}{2};b=6\Rightarrow ab=81$.
Đáp án D.