Cho $x, y$ là các số dương $x y \leq 4 y - 1$ . Giá trị nhỏ nhất của...

The Knowledge · 18/2/22

Câu hỏi: Cho

x, y

là các số dương

x y \leq 4 y - 1

. Giá trị nhỏ nhất của

P = \frac{6 (2 x + y)}{x} + \ln \frac{x + 2 y}{y}

là

a + \ln b (a, b \in Q)

. Tích

a b

bằng
A. 115.
B. 45.
C. 108.
D. 81.

Ta có

x y \leq 4 y - 1 \Leftrightarrow \frac{x}{y} \leq \frac{4}{y} - \frac{1}{y^{2}} \Leftrightarrow \frac{x}{y} \leq 4 - {(2 - \frac{1}{y})}^{2} \leq 4 \Rightarrow 0 < \frac{x}{y} \leq 4

Lại có

P = 12 + 6. \frac{y}{x} + \ln (\frac{x}{y} + 2) = 12 + \frac{6}{t} + \ln (t + 2) = f (t)

Xét hàm số

f (t) = \frac{6}{t} + \ln (t + 1) + 12

trên

(0; 4]

, có

f^{'} (t) = - \frac{6}{t^{2}} + \frac{1}{t + 2} < 0

;
Suy ra

f (t)

là hàm số nghịch biến trên

(0; 4)

\Rightarrow min_{(0; 4]} f (t) = f (4) = \frac{27}{2} + \ln 6

Vậy

P_{min} = a + \ln b = \frac{27}{2} + \ln 6 \Rightarrow a = \frac{27}{2}; b = 6 \Rightarrow a b = 81

.

Đáp án D.

Cho x,y là các số dương xy≤4y−1. Giá trị nhỏ nhất của...