Cho $x,y$ là các số dương thỏa mãn $xy\le 4y-1$. Giá trị nhỏ nhất...

Với $x>0,y>0$ ta có:
$xy\le 4y-1\Leftrightarrow \dfrac{x}{y}<-\dfrac{1}{{{y}^{2}}}+\dfrac{4}{y}\Leftrightarrow \dfrac{x}{y}<-\left( \dfrac{1}{{{y}^{2}}}-2.2.\dfrac{1}{y}+4 \right)+4\Leftrightarrow \dfrac{x}{y}<4-{{\left( \dfrac{1}{y}-2 \right)}^{2}}$ $\Rightarrow \dfrac{x}{y}\le 4$.Vậy $0<\dfrac{x}{y}\le 4$
$P=\dfrac{6\left( 2x+y \right)}{x}+\ln \dfrac{x+2y}{y}=12+6.\dfrac{y}{x}+\ln \left( \dfrac{x}{y}+2 \right)$
Đặt $t=\dfrac{x}{y}\Rightarrow 0<t\le 4$
$P\left( t \right)=12+6\dfrac{1}{t}+\ln \left( t+2 \right)\Rightarrow {P}'\left( t \right)=-\dfrac{6}{{{t}^{2}}}+\dfrac{1}{t+2}=\dfrac{{{t}^{2}}-6t-12}{{{t}^{2}}\left( t+2 \right)}$
${P}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-6t-12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=3-\sqrt{21}\text{(L)} \\
& t=3+\sqrt{21}\text{(TM)} \\
\end{aligned} \right.$
Lập bảng biến thiên:

Vậy $a.b=81$