Cho x, y là các số dương thỏa mãn ${{\log...

The Professor · 14/12/21

Câu hỏi: Cho x, y là các số dương thỏa mãn

\log_{2} \frac{x^{2} + 5 y^{2}}{x^{2} + 10 x y + y^{2}} + 1 + x^{2} - 10 x y + 9 y^{2} \leq 0

. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

P = \frac{x^{2} + x y + 9 y^{2}}{x y + y^{2}}

. Tính

T = 10 M - m

.
A.

T = 60

B.

T = 94

C.

T = 104

D.

T = 50

Bất phương trình tương đương với:

\log_{2} (x^{2} + 5 y^{2}) - \log_{2} (x^{2} + 10 x y + y^{2}) + \log_{2} 2 + 2 (x^{2} + 5 y^{2}) - (x^{2} + 10 x y + y^{2}) \leq 0

\Leftrightarrow \log_{2} (2 x^{2} + 10 y^{2}) + 2 (x^{2} + 5 y^{2}) \leq \log_{2} (x^{2} + 10 x y + y^{2}) + (x^{2} + 10 x y + y^{2})

\Leftrightarrow 2 x^{2} + 10 y^{2} \leq x^{2} + 10 x y + y^{2}

\Leftrightarrow x^{2} - 10 x y + 9 y^{2} \leq 0 \Leftrightarrow {(\frac{x}{y})}^{2} - 10 (\frac{x}{y}) + 9 \leq 0 \Leftrightarrow 1 \leq \frac{x}{y} \leq 9

Khi đó:

P = \frac{x^{2} + x y + 9 y^{2}}{x y + y^{2}} = \frac{{(\frac{x}{y})}^{2} + \frac{x}{y} + 9}{\frac{x}{y} + 1}

Đặt

t = \frac{x}{y}

(với

1 \leq t \leq 9

).
Xét hàm số:

f (t) = \frac{t^{2} + t + 9}{t + 1}

.
Ta có:

f^{'} (t) = \frac{t^{2} + 2 t - 8}{{(t + 1)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} t = - 4 \\ t = 2 \end{aligned}

.
Ta lại có:

f (1) = \frac{11}{2}; f (2) = 5; f (9) = \frac{99}{10}

.
Nên

M = \frac{99}{10}, m = 5

.
Vậy

T = 10 M - m = 94

.

Đáp án B.