Cho x, y là các số dương thỏa mãn ${{\log...

Bất phương trình tương đương với:
${{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+5{{y}^{2}} \right)-{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+10\text{x}y+{{y}^{2}} \right)+{{\log }_{2}}2+2\left( {{x}^{2}}+5{{y}^{2}} \right)-\left( {{x}^{2}}+10\text{x}y+{{y}^{2}} \right)\le 0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 2{{\text{x}}^{2}}+10{{y}^{2}} \right)+2\left( {{x}^{2}}+5{{y}^{2}} \right)\le {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+10\text{x}y+{{y}^{2}} \right)+\left( {{x}^{2}}+10\text{x}y+{{y}^{2}} \right)$
$\Leftrightarrow 2{{\text{x}}^{2}}+10{{y}^{2}}\le {{x}^{2}}+10\text{x}y+{{y}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-10\text{x}y+9{{y}^{2}}\le 0\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{x}{y} \right)}^{2}}-10\left( \dfrac{x}{y} \right)+9\le 0\Leftrightarrow 1\le \dfrac{x}{y}\le 9$
Khi đó: $P=\dfrac{{{x}^{2}}+xy+9{{y}^{2}}}{xy+{{y}^{2}}}=\dfrac{{{\left( \dfrac{x}{y} \right)}^{2}}+\dfrac{x}{y}+9}{\dfrac{x}{y}+1}$
Đặt $t=\dfrac{x}{y}$ (với $1\le t\le 9$ ).
Xét hàm số: $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+t+9}{t+1}$.
Ta có: ${f}'\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+2t-8}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-4 \\
& t=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta lại có: $f\left( 1 \right)=\dfrac{11}{2};f\left( 2 \right)=5;f\left( 9 \right)=\dfrac{99}{10}$.
Nên $M=\dfrac{99}{10},m=5$.
Vậy $T=10M-m=94$.