Google
Câu hỏi: Cho $x,y\in \left( 0;2 \right)$ thỏa mãn $\left( x-3 \right)\left( x+8 \right)=ey\left( ey-11 \right)$. Giá trị lớn nhất của $P=\sqrt{\ln x}+\sqrt{1+\ln y}$ bằng:
A. $\sqrt{1+\ln 3-\ln 2}.$
B. $2\sqrt{\ln 3-\ln 2}.$
C. $1+\sqrt{\ln 3-\ln 2}.$
D. $1+\sqrt{\ln 2}.$
A. $\sqrt{1+\ln 3-\ln 2}.$
B. $2\sqrt{\ln 3-\ln 2}.$
C. $1+\sqrt{\ln 3-\ln 2}.$
D. $1+\sqrt{\ln 2}.$
Điều kiện: $x\ge 1,y\ge \dfrac{1}{e}$.
Phương trình tương đương với: ${{x}^{2}}+5x-24={{e}^{2}}{{y}^{2}}-11ey\Leftrightarrow {{e}^{2}}{{y}^{2}}-11ey-\left( {{x}^{2}}+5x-24 \right)=0\ \ \ \left( * \right)$
Ta có: $\Delta ={{\left( 2x+5 \right)}^{2}}>0,\forall x\ge 1$.
Do đó: $\left( * \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& ey=\dfrac{11+\left( 2x+5 \right)}{2} \\
& ey=\dfrac{11-\left( 2x+5 \right)}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& ey=x+8 \\
& ey=3-x \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& y=\dfrac{x+8}{e} \\
& y=\dfrac{3-x}{e} \\
\end{aligned} \right..$
+ Với $y=\dfrac{x+8}{e}\notin \left( 0;2 \right)$ (vì $\dfrac{x+8}{e}>\dfrac{9}{e}>2$ ).
+ Với $y=\dfrac{3-x}{e}\in \left( 0;2 \right)$ (vì $1\le x<2$ ).
Cách 1:
Khi đó, ta được: $P=\sqrt{\ln x}+\sqrt{\ln \left( 3-x \right)}$ trên $\left[ 1;2 \right)$.
Ta có: $P'=\dfrac{1}{2x\sqrt{\ln x}}-\dfrac{1}{2\left( 3-x \right)\sqrt{\ln \left( 3-x \right)}}=0\Leftrightarrow \left( 3-x \right)\sqrt{\ln \left( 3-x \right)}=x\sqrt{\ln x}\ \ \ \left( ** \right)$.
Xét hàm $f\left( t \right)=t\sqrt{\ln t}$ trên $\left[ 1;+\infty \right)$, có $f'\left( t \right)=\sqrt{\ln t}+\dfrac{1}{2\sqrt{\ln t}}>0,\forall t\in \left( 1;+\infty \right)$.
Khi đó $\left( ** \right)\Leftrightarrow f\left( 3-x \right)=f\left( x \right)\Leftrightarrow 3-x=x\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra ${{P}_{\max }}=2\sqrt{\ln 3-\ln 2}$ khi $x=\dfrac{3}{2};y=\dfrac{3}{2e}$.
Cách 2:
Khi đó, ta được: $P=\sqrt{\ln x}+\sqrt{\ln \left( 3-x \right)}$ trên $\left[ 1;2 \right)$.
${{P}^{2}}={{\left[ \sqrt{\ln x}+\sqrt{\ln \left( 3-x \right)} \right]}^{2}}\le 2\left[ \ln x+\ln \left( 3-x \right) \right]=2\ln \left[ x\left( 3-x \right) \right]\le 2\ln {{\left( \dfrac{x+3-x}{2} \right)}^{2}}=4\left( \ln 3-\ln 2 \right),\forall x\in \left[ 1;2 \right)$.
Dấu "=" xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{\ln x}=\sqrt{\ln \left( 3-x \right)} \\
& x=3-x \\
& x\in \left[ 1;2 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}.$
Vậy từ đó ${{P}_{\max }}=2\sqrt{\ln 3-\ln 2}$ khi $x=\dfrac{3}{2};y=\dfrac{3}{2e}$.
Phương trình tương đương với: ${{x}^{2}}+5x-24={{e}^{2}}{{y}^{2}}-11ey\Leftrightarrow {{e}^{2}}{{y}^{2}}-11ey-\left( {{x}^{2}}+5x-24 \right)=0\ \ \ \left( * \right)$
Ta có: $\Delta ={{\left( 2x+5 \right)}^{2}}>0,\forall x\ge 1$.
Do đó: $\left( * \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& ey=\dfrac{11+\left( 2x+5 \right)}{2} \\
& ey=\dfrac{11-\left( 2x+5 \right)}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& ey=x+8 \\
& ey=3-x \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& y=\dfrac{x+8}{e} \\
& y=\dfrac{3-x}{e} \\
\end{aligned} \right..$
+ Với $y=\dfrac{x+8}{e}\notin \left( 0;2 \right)$ (vì $\dfrac{x+8}{e}>\dfrac{9}{e}>2$ ).
+ Với $y=\dfrac{3-x}{e}\in \left( 0;2 \right)$ (vì $1\le x<2$ ).
Cách 1:
Khi đó, ta được: $P=\sqrt{\ln x}+\sqrt{\ln \left( 3-x \right)}$ trên $\left[ 1;2 \right)$.
Ta có: $P'=\dfrac{1}{2x\sqrt{\ln x}}-\dfrac{1}{2\left( 3-x \right)\sqrt{\ln \left( 3-x \right)}}=0\Leftrightarrow \left( 3-x \right)\sqrt{\ln \left( 3-x \right)}=x\sqrt{\ln x}\ \ \ \left( ** \right)$.
Xét hàm $f\left( t \right)=t\sqrt{\ln t}$ trên $\left[ 1;+\infty \right)$, có $f'\left( t \right)=\sqrt{\ln t}+\dfrac{1}{2\sqrt{\ln t}}>0,\forall t\in \left( 1;+\infty \right)$.
Khi đó $\left( ** \right)\Leftrightarrow f\left( 3-x \right)=f\left( x \right)\Leftrightarrow 3-x=x\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra ${{P}_{\max }}=2\sqrt{\ln 3-\ln 2}$ khi $x=\dfrac{3}{2};y=\dfrac{3}{2e}$.
Cách 2:
Khi đó, ta được: $P=\sqrt{\ln x}+\sqrt{\ln \left( 3-x \right)}$ trên $\left[ 1;2 \right)$.
${{P}^{2}}={{\left[ \sqrt{\ln x}+\sqrt{\ln \left( 3-x \right)} \right]}^{2}}\le 2\left[ \ln x+\ln \left( 3-x \right) \right]=2\ln \left[ x\left( 3-x \right) \right]\le 2\ln {{\left( \dfrac{x+3-x}{2} \right)}^{2}}=4\left( \ln 3-\ln 2 \right),\forall x\in \left[ 1;2 \right)$.
Dấu "=" xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{\ln x}=\sqrt{\ln \left( 3-x \right)} \\
& x=3-x \\
& x\in \left[ 1;2 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}.$
Vậy từ đó ${{P}_{\max }}=2\sqrt{\ln 3-\ln 2}$ khi $x=\dfrac{3}{2};y=\dfrac{3}{2e}$.
Đáp án B.