Cho $x,y\in (0;2)$ thỏa mãn $\left( x-3 \right)\left(...

Điều kiện: $x\ge 1,y\ge {\displaystyle \frac{1}{e}}$.
Phương trình tương đương với: $x^2+5x-24=e^2{y}^2-11ey\iff e^2{y}^2-11ey-(x^2+5x-24)=0(\ast )$
Ta có: $\mathrm{\Delta }={(2x+5)}^2>0,\mathrm{\forall }x\ge 1$.
Do đó: $(\ast )\iff [\begin{array}{rl}& ey={\displaystyle \frac{11+(2x+5)}{2}}\\ & ey={\displaystyle \frac{11-(2x+5)}{2}}\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& ey=x+8\\ & ey=3-x\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& y={\displaystyle \frac{x+8}{e}}\\ & y={\displaystyle \frac{3-x}{e}}\end{array}.$
+ Với $y={\displaystyle \frac{x+8}{e}}\notin (0;2)$ (vì ${\displaystyle \frac{x+8}{e}}>{\displaystyle \frac{9}{e}}>2$ ).
+ Với $y={\displaystyle \frac{3-x}{e}}\in (0;2)$ (vì $1\le x<2$ ).
Cách 1:
Khi đó, ta được: $P=\sqrt{\ln x}+\sqrt{\ln (3-x)}$ trên $[1;2)$.
Ta có: $P^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{2x\sqrt{\ln x}}}-{\displaystyle \frac{1}{2(3-x)\sqrt{\ln (3-x)}}}=0\iff (3-x)\sqrt{\ln (3-x)}=x\sqrt{\ln x}(\ast \ast )$.
Xét hàm $f\left(t\right)=t\sqrt{\ln t}$ trên $[1;+\mathrm{\infty })$, có $f^{\prime }\left(t\right)=\sqrt{\ln t}+{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{\ln t}}}>0,\mathrm{\forall }t\in (1;+\mathrm{\infty })$.
Khi đó $(\ast \ast )\iff f(3-x)=f\left(x\right)\iff 3-x=x\iff x={\displaystyle \frac{3}{2}}$.
Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra $P_{max}=2\sqrt{\ln 3-\ln 2}$ khi $x={\displaystyle \frac{3}{2}};y={\displaystyle \frac{3}{2e}}$.
Cách 2:
Khi đó, ta được: $P=\sqrt{\ln x}+\sqrt{\ln (3-x)}$ trên $[1;2)$.
$P^2={[\sqrt{\ln x}+\sqrt{\ln (3-x)}]}^2\le 2[\ln x+\ln (3-x)]=2\ln \left[x(3-x)\right]\le 2\ln {\left({\displaystyle \frac{x+3-x}{2}}\right)}^2=4(\ln 3-\ln 2),\mathrm{\forall }x\in [1;2)$.
Dấu "=" xảy ra khi $\{\begin{array}{rl}& \sqrt{\ln x}=\sqrt{\ln (3-x)}\\ & x=3-x\\ & x\in [1;2)\end{array}\iff x={\displaystyle \frac{3}{2}}.$
Vậy từ đó $P_{max}=2\sqrt{\ln 3-\ln 2}$ khi $x={\displaystyle \frac{3}{2}};y={\displaystyle \frac{3}{2e}}$.