Google
Câu hỏi: Cho $x,y>0$ thỏa mãn $\log \left( x+2y \right)=\log x+\log y$. Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\dfrac{{{x}^{2}}}{1+2y}+\dfrac{4{{y}^{2}}}{1+x}$ là
A. 6
B. $\dfrac{32}{5}$
C. $\dfrac{31}{5}$
D. $\dfrac{29}{5}$
A. 6
B. $\dfrac{32}{5}$
C. $\dfrac{31}{5}$
D. $\dfrac{29}{5}$
Ta có: $\log \left( x+2y \right)=\log x+\log y\Leftrightarrow x+2y=xy$
Đặt $2y=z\Rightarrow x+z=\dfrac{xz}{2}$ ; $P=\dfrac{{{x}^{2}}}{1+z}+\dfrac{{{z}^{2}}}{1+x}$
Áp dụng BĐT $\left( x+y \right)\left( \dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y} \right)\ge {{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)}^{2}}$ ta có: $\left( 1+z+1+x \right)P\ge {{\left( x+z \right)}^{2}}$
$\Rightarrow P\ge \dfrac{{{\left( x+z \right)}^{2}}}{2+x+z}$. Mặt khác $2\left( x+z \right)=xz\le \dfrac{{{\left( x+z \right)}^{2}}}{4}\Rightarrow x+z\ge 8$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}}{t+2}\left( t\ge 8 \right)\Rightarrow {f}'\left( t \right)=\dfrac{2{{t}^{2}}+4t-{{t}^{2}}}{{{\left( t+2 \right)}^{2}}}>0\left( t\ge 8 \right)$
Do đó $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left[ 8;+\infty \right)\Rightarrow {{P}_{\min }}=f\left( 8 \right)=\dfrac{32}{5}$.
Đặt $2y=z\Rightarrow x+z=\dfrac{xz}{2}$ ; $P=\dfrac{{{x}^{2}}}{1+z}+\dfrac{{{z}^{2}}}{1+x}$
Áp dụng BĐT $\left( x+y \right)\left( \dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y} \right)\ge {{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)}^{2}}$ ta có: $\left( 1+z+1+x \right)P\ge {{\left( x+z \right)}^{2}}$
$\Rightarrow P\ge \dfrac{{{\left( x+z \right)}^{2}}}{2+x+z}$. Mặt khác $2\left( x+z \right)=xz\le \dfrac{{{\left( x+z \right)}^{2}}}{4}\Rightarrow x+z\ge 8$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}}{t+2}\left( t\ge 8 \right)\Rightarrow {f}'\left( t \right)=\dfrac{2{{t}^{2}}+4t-{{t}^{2}}}{{{\left( t+2 \right)}^{2}}}>0\left( t\ge 8 \right)$
Do đó $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left[ 8;+\infty \right)\Rightarrow {{P}_{\min }}=f\left( 8 \right)=\dfrac{32}{5}$.
Đáp án B.