Cho $x$ và $y$ là các số thực. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức...

Ta có $P={{\left( y-{{10}^{x}} \right)}^{2022}}+{{\left( {{e}^{y}}-x\ln 10 \right)}^{2022}}={{\left( y-{{e}^{x\ln 10}} \right)}^{2022}}+{{\left( {{e}^{y}}-x\ln 10 \right)}^{2022}}$
Đặt $t=x\ln 10$, khi đó $P={{\left( y-{{e}^{t}} \right)}^{2022}}+{{\left( {{e}^{y}}-t \right)}^{2022}}={{\left( t-{{e}^{y}} \right)}^{2022}}+{{\left( {{e}^{t}}-y \right)}^{2022}}$
Với $y>t$, $P={{\left( y-{{e}^{t}} \right)}^{2022}}+{{\left( {{e}^{y}}-t \right)}^{2022}}>{{\left( t-{{e}^{t}} \right)}^{2022}}+{{\left( {{e}^{t}}-t \right)}^{2022}}=2{{\left( {{e}^{t}}-t \right)}^{2022}}$
Với $y<t$, $P={{\left( y-{{e}^{t}} \right)}^{2022}}+{{\left( {{e}^{y}}-t \right)}^{2022}}>{{\left( y-{{e}^{y}} \right)}^{2022}}+{{\left( {{e}^{y}}-y \right)}^{2022}}=2{{\left( {{e}^{y}}-y \right)}^{2022}}$
Với $y=t$, ta có $P=2{{\left( {{e}^{t}}-t \right)}^{2022}}$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{e}^{t}}-t$, ta có ${f}'\left( t \right)={{e}^{t}}-1=0\Leftrightarrow t=0$
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy được $f\left( t \right)={{e}^{t}}-t\ge 1$ $\Rightarrow P=2{{\left( {{e}^{t}}-t \right)}^{2022}}\ge 2$.
Đẳng thức xảy ra khi $y=t=0$ hay $x=y=0$.