Cho $x>0,x\ne 1$. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển...

Phương pháp:
- Sử dụng các hằng đẳng thức rút gọn biểu thức P .
- Sử dụng khai triển Niu-tơn: $\left( a+b \right){{~}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}$
Cách giải:
$P={{\left( \dfrac{x+1}{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}-\sqrt[3]{x+1}}-\dfrac{x-1}{x-\sqrt{x}} \right)}^{20}}$
$P={{\left( \dfrac{{{\left( \sqrt[3]{x} \right)}^{3}}+{{1}^{3}}}{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}-\sqrt[3]{x}+1}-\dfrac{{{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}-{{1}^{2}}}{x-\sqrt{x}} \right)}^{20}}$
$P={{\left( \dfrac{\left( \sqrt[3]{x}+1 \right)\left( \sqrt[3]{{{x}^{2}}}-\sqrt[3]{x}+1 \right)}{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}-\sqrt[3]{x}+1}-\dfrac{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+1 \right)}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-1 \right)} \right)}^{20}}$
$P={{\left( \sqrt[3]{x}+1-\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}} \right)}^{20}}={{\left( \sqrt[3]{x}+1-1-\dfrac{1}{\sqrt{x}} \right)}^{20}}$
$P={{\left( \sqrt[3]{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}} \right)}^{20}}={{\left( {{x}^{\dfrac{1}{3}}}-{{x}^{-\dfrac{1}{2}}} \right)}^{20}}$
$P=\sum\limits_{k=o}^{20}{C_{20}^{k}}{{\left( {{x}^{\dfrac{1}{3}}} \right)}^{20-k}}{{\left( -{{x}^{-\dfrac{1}{2}}} \right)}^{k}}$
$P=P=\sum\limits_{k=o}^{20}{C_{20}^{k}}{{\left( -1 \right)}^{k}}{{x}^{\dfrac{20-k}{3}}}{{x}^{-\dfrac{k}{2}}}$
$P=P=\sum\limits_{k=o}^{20}{C_{20}^{k}}{{\left( -1 \right)}^{k}}{{x}^{\dfrac{40-5k}{6}}}$
Số hạng không chứa x ứng với $40-5k=0\Leftrightarrow k=8.~$
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển trên là: $C_{20}^{8}{{\left( -1 \right)}^{8}}=125970$.