Google
Câu hỏi: Cho vật thể có đáy là một hình tròn giới hạn bởi ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{R}^{2}}.$ Biết rằng khi cắt vật thể bằng mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x\left( -R\le x\le R \right)$ thì được thiết diện là một hình vuông. Để thể tích $V$ của vật thể đó bằng 2021 (đơn vị thể tích) thì $R$ thuộc khoảng nào sau đây?
A. $\left( 6;7 \right)$
B. $\left( 7;8 \right)$
C. $\left( 9;10 \right)$
D. $\left( 8;9 \right)$
A. $\left( 6;7 \right)$
B. $\left( 7;8 \right)$
C. $\left( 9;10 \right)$
D. $\left( 8;9 \right)$
Phương pháp:
Giả sử vật thể $T$ giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=a,x=b.$ Cắt vật thể $T$ bởi một mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x\left( a\le x\le b \right)$ được thiết diện có thể tích $S\left( x \right).$ Khi đó thể tích vật thể $T$ là ${{V}_{T}}=\int\limits_{a}^{b}{S\left( x \right)dx}.$
Cách giải:
Giả sử vật thể là hình trụ $\Rightarrow $ Thiết diện $ABCD$ là hình vuông.
Ta có $DH=\sqrt{O{{D}^{2}}-D{{H}^{2}}}=\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}\Rightarrow CD=2\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}.$
$\Rightarrow {{S}_{ABCD}}=C{{D}^{2}}=4\left( {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right).$
Khi đó thể tích vật thể là:
$V=\int\limits_{-R}^{R}{4\left( {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right)dx=4\left( {{R}^{2}}x-\dfrac{{{x}^{3}}}{3} \right)\left| \begin{aligned}
& R \\
& -R \\
\end{aligned} \right.}$
$=4\left( {{R}^{3}}-\dfrac{{{R}^{3}}}{3}+{{R}^{3}}-\dfrac{{{R}^{3}}}{3} \right)=\dfrac{16{{R}^{3}}}{3}$
$\Rightarrow \dfrac{16{{R}^{3}}}{3}=2021\Leftrightarrow R\approx 7,24\in \left( 7;8 \right).$
Giả sử vật thể $T$ giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=a,x=b.$ Cắt vật thể $T$ bởi một mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x\left( a\le x\le b \right)$ được thiết diện có thể tích $S\left( x \right).$ Khi đó thể tích vật thể $T$ là ${{V}_{T}}=\int\limits_{a}^{b}{S\left( x \right)dx}.$
Cách giải:
Giả sử vật thể là hình trụ $\Rightarrow $ Thiết diện $ABCD$ là hình vuông.
Ta có $DH=\sqrt{O{{D}^{2}}-D{{H}^{2}}}=\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}\Rightarrow CD=2\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}.$
$\Rightarrow {{S}_{ABCD}}=C{{D}^{2}}=4\left( {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right).$
Khi đó thể tích vật thể là:
$V=\int\limits_{-R}^{R}{4\left( {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right)dx=4\left( {{R}^{2}}x-\dfrac{{{x}^{3}}}{3} \right)\left| \begin{aligned}
& R \\
& -R \\
\end{aligned} \right.}$
$=4\left( {{R}^{3}}-\dfrac{{{R}^{3}}}{3}+{{R}^{3}}-\dfrac{{{R}^{3}}}{3} \right)=\dfrac{16{{R}^{3}}}{3}$
$\Rightarrow \dfrac{16{{R}^{3}}}{3}=2021\Leftrightarrow R\approx 7,24\in \left( 7;8 \right).$
Đáp án B.