Google
Câu hỏi: Cho tứ diện $SABC$ và hai điểm $M,N$ lần lượt thuộc các cạnh $SA,SB$ sao cho $\dfrac{SM}{AM}=\dfrac{1}{2},\dfrac{SN}{BN}=2.$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua hai điểm $M,N$ và song song với cạnh $SC$ cắt $AC,BC$ lần lượt tại $L,K.$ Gọi $V,V'$ lần lượt là thể tích các khối đa diện $SCMNKL,SABC.$ Tính $\dfrac{V}{V'}.$
A. $\dfrac{2}{3}$
B. $\dfrac{4}{9}$
C. $\dfrac{1}{4}$
D. $\dfrac{1}{3}$
A. $\dfrac{2}{3}$
B. $\dfrac{4}{9}$
C. $\dfrac{1}{4}$
D. $\dfrac{1}{3}$
Cách giải:
Chia khối đa diện $SCMNKL$ bởi mặt phẳng $\left( NLC \right)$ ta được hai khối chóp $NSMLC$ và $NLKC$
Vì $SC$ song song với $\left( MNKL \right)$ nên $SC//ML//NK$
Ta có $\dfrac{{{V}_{N.SMLC}}}{{{V}_{B.SAC}}}=\dfrac{\dfrac{1}{3}d\left( N;\left( SAC \right) \right){{S}_{SMLC}}}{\dfrac{1}{3}d\left( B;\left( SAC \right) \right).{{S}_{SAC}}}=\dfrac{NS}{BS}\left( 1-\dfrac{{{S}_{AML}}}{{{S}_{SAC}}} \right)$
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{N.SMLC}}}{{{V}_{B.SAC}}}=\dfrac{2}{3}\left( 1-\dfrac{AM}{AS}.\dfrac{AL}{AC} \right)=\dfrac{2}{3}\left( 1-\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3} \right)=\dfrac{10}{27}$
$\dfrac{{{V}_{N.KLC}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{\dfrac{1}{3}d\left( N;\left( ABC \right) \right){{S}_{KLC}}}{\dfrac{1}{3}d\left( S;\left( ABC \right) \right).{{S}_{ABC}}}=\dfrac{NB}{SB}.\dfrac{LC}{AC}.\dfrac{CK}{CB}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{27}$
Suy ra $\dfrac{{{V}_{SCMNKL}}}{{{V}_{SABC}}}=\dfrac{{{V}_{NSMIC}}}{{{V}_{BSAC}}}+\dfrac{{{V}_{NKLC}}}{{{V}_{SABC}}}=\dfrac{10}{27}+\dfrac{2}{27}=\dfrac{4}{9}$
Chia khối đa diện $SCMNKL$ bởi mặt phẳng $\left( NLC \right)$ ta được hai khối chóp $NSMLC$ và $NLKC$
Vì $SC$ song song với $\left( MNKL \right)$ nên $SC//ML//NK$
Ta có $\dfrac{{{V}_{N.SMLC}}}{{{V}_{B.SAC}}}=\dfrac{\dfrac{1}{3}d\left( N;\left( SAC \right) \right){{S}_{SMLC}}}{\dfrac{1}{3}d\left( B;\left( SAC \right) \right).{{S}_{SAC}}}=\dfrac{NS}{BS}\left( 1-\dfrac{{{S}_{AML}}}{{{S}_{SAC}}} \right)$
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{N.SMLC}}}{{{V}_{B.SAC}}}=\dfrac{2}{3}\left( 1-\dfrac{AM}{AS}.\dfrac{AL}{AC} \right)=\dfrac{2}{3}\left( 1-\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3} \right)=\dfrac{10}{27}$
$\dfrac{{{V}_{N.KLC}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{\dfrac{1}{3}d\left( N;\left( ABC \right) \right){{S}_{KLC}}}{\dfrac{1}{3}d\left( S;\left( ABC \right) \right).{{S}_{ABC}}}=\dfrac{NB}{SB}.\dfrac{LC}{AC}.\dfrac{CK}{CB}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{27}$
Suy ra $\dfrac{{{V}_{SCMNKL}}}{{{V}_{SABC}}}=\dfrac{{{V}_{NSMIC}}}{{{V}_{BSAC}}}+\dfrac{{{V}_{NKLC}}}{{{V}_{SABC}}}=\dfrac{10}{27}+\dfrac{2}{27}=\dfrac{4}{9}$
Đáp án B.