Google
Câu hỏi: Cho tứ diện $S.ABC$ có các cạnh $SA$, $SB$ ; $SC$ đôi một vuông góc và $SA=SB=SC=1$. Tính $\cos \alpha $, trong đó $\alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( ABC \right)$ ?
A. $\cos \alpha =\dfrac{1}{2\sqrt{3}}$.
B. $\cos \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
C. $\cos \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
D. $\cos \alpha =\dfrac{1}{3\sqrt{2}}$.
Gọi $D$ là trung điểm cạnh $BC$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& SA\bot SB \\
& SA\bot SC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SA\bot \left( SBC \right) $ $ \Rightarrow SA\bot BC$.
Mà $SD\bot BC$ nên $BC\bot \left( SAD \right)$.
$\Rightarrow \left( \widehat{\left( SBC \right),\left( ABC \right)} \right)=\widehat{SDA}=\alpha $.
Khi đó tam giác $SAD$ vuông tại $S$ có $SD=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ ; $AD=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ và $\cos \alpha =\dfrac{SD}{AD}$ $\Leftrightarrow \cos \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
A. $\cos \alpha =\dfrac{1}{2\sqrt{3}}$.
B. $\cos \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
C. $\cos \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
D. $\cos \alpha =\dfrac{1}{3\sqrt{2}}$.
Gọi $D$ là trung điểm cạnh $BC$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& SA\bot SB \\
& SA\bot SC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SA\bot \left( SBC \right) $ $ \Rightarrow SA\bot BC$.
Mà $SD\bot BC$ nên $BC\bot \left( SAD \right)$.
$\Rightarrow \left( \widehat{\left( SBC \right),\left( ABC \right)} \right)=\widehat{SDA}=\alpha $.
Khi đó tam giác $SAD$ vuông tại $S$ có $SD=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ ; $AD=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ và $\cos \alpha =\dfrac{SD}{AD}$ $\Leftrightarrow \cos \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
Đáp án B.