Cho tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc với nhau và...

Thể tích $OABC$ là: ${{V}_{OABC}}=\dfrac{1}{6}OA.OB.OC=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$
Gọi $N$ là trung điểm của cạnh $AB$
Ta có: $AC=AB=a\sqrt{5}\Rightarrow NO=\dfrac{1}{2}BA=\dfrac{a\sqrt{5}}{2};$
$NM=\dfrac{1}{2}CA=\dfrac{a\sqrt{5}}{2};MO=\dfrac{1}{2}BC=a\sqrt{2}$
Sử dụng công thức Hê-rông ta có: ${{S}_{\Delta OMN}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{6}}{6}$
Mặt khác ta có: $\dfrac{{{V}_{BOMN}}}{{{V}_{BOCA}}}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow {{V}_{bomn}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{BOCA}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$
Do $AC$ song song với $MN$ nên $AC$ song song với mặt phẳng $\left( OMN \right)$ có chứa $OM$
Ta có: $d=d\left( AC;OM \right)=d\left( AC;\left( OMN \right) \right)=d\left( A;\left( OMN \right) \right)=d\left( B;\left( OMN \right) \right)$
$d=\dfrac{3{{V}_{BOMN}}}{{{S}_{\Delta OMN}}}=\dfrac{3\dfrac{{{a}^{3}}}{6}}{\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{6}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$