Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, và...

Gọi N là trung điểm của BC suy ra
$MN//AC\Rightarrow AC//\left( OMN \right)$
$\Rightarrow d\left( OM;AC \right)=d\left( C;\left( OMN \right) \right)=d\left( B;\left( OMN \right) \right).$
${{V}_{A.OBC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}a.a.2a=\dfrac{1}{3}{{a}^{3}}.$
Ta có: $\dfrac{{{V}_{M.OBC}}}{{{V}_{A.OBC}}}=\dfrac{d\left( M;\left( ABC \right) \right)}{d\left( A;\left( ABC \right) \right)}.\dfrac{{{S}_{OBN}}}{{{S}_{OBC}}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$
$\Rightarrow {{V}_{M.OBC}}=\dfrac{1}{12}{{a}^{3}}.$
Xét tam giác vuông cân AOB: $OM=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{\sqrt{2}}{2}a.$
Xét tam giác vuông BOC: $ON=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}a.$
Xét tam giác BAC: $MN=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 2a \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}a.$
Trong tam giác cân OMN, gọi H là trung điểm của OM
ta có $NH=\sqrt{N{{M}^{2}}-H{{M}^{2}}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}a.$
Suy ra ${{S}_{OMN}}=\dfrac{1}{2}OM.NH=\dfrac{3}{8}{{a}^{2}}.$ Vậy $d (B;OMN)=\dfrac{3{{V}_{M.OBN}}}{{{S}_{OMN}}}=\dfrac{2}{3}a.$
Cách khác:
Dựng trục tọa độ với gốc tọa độ tại O còn OA, OB, OC lần lượt là các trục Ox, Oy, Oz. Cho $a=1,$ dễ dàng tính được tọa độ $A\left( 0;0;1 \right), B\left( 1;0;0 \right), C\left( 0;1;0 \right)$ suy ra $M\left( \dfrac{1}{2};0;\dfrac{1}{2} \right)$ áp dụng công thức $d\left( OM,AC \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{OM};\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{OA} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{OM};\overrightarrow{AC} \right] \right|}=\dfrac{2}{3}.$