Google
Câu hỏi: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = OC = 2a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và AC bằng:
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
B. $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}.$
C. a.
D. $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.$
Ta có được $OA\bot \left( OBC \right)$.
Trong mặt phẳng (OBC), dựng điểm E sao cho OMCE là hình bình hành thì OMCE cũng là hình vuông (do OBC vuông cân tại O).
Lại có : $\left\{ \begin{aligned}
& CE\bot OE \\
& CE\bot OA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CE\bot \left( AOE \right).$
Do đó : kẻ $OH\bot AE$ tại H thì $OH\bot \left( AEC \right).$
Vì $OM//\left( AEC \right)$ nên:
$d\left( AC;OM \right)=d\left( O;\left( ACE \right) \right)=OH=\dfrac{OA.OE}{\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{E}^{2}}}}=\dfrac{a.a\sqrt{2}}{\sqrt{{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
B. $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}.$
C. a.
D. $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.$
Ta có được $OA\bot \left( OBC \right)$.
Trong mặt phẳng (OBC), dựng điểm E sao cho OMCE là hình bình hành thì OMCE cũng là hình vuông (do OBC vuông cân tại O).
Lại có : $\left\{ \begin{aligned}
& CE\bot OE \\
& CE\bot OA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CE\bot \left( AOE \right).$
Do đó : kẻ $OH\bot AE$ tại H thì $OH\bot \left( AEC \right).$
Vì $OM//\left( AEC \right)$ nên:
$d\left( AC;OM \right)=d\left( O;\left( ACE \right) \right)=OH=\dfrac{OA.OE}{\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{E}^{2}}}}=\dfrac{a.a\sqrt{2}}{\sqrt{{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
Đáp án D.