Google
Câu hỏi: Cho tứ diện $OABC$ có ba cạnh $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc với nhau $OA=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}, OB=OC=a$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$. Thể tích khối tứ diện $OABH$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{48}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}$.
Gọi $K$ là trung điểm của $BC$, do $OB=OC\Rightarrow AB=AC\Rightarrow AK\bot BC$.
Ta có $BC\bot OA; BC\bot OH\Rightarrow BC\bot AH$.
Tương tự: $AC\bot BH$. Khi đó $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ và $A,H,K$ thẳng hàng.
Mặt khác: $OK=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$, suy ra $OA=OK\Rightarrow H$ là trung điểm của $AK$.
Vậy ${{V}_{OABH}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{O.ABK}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{OABC}}=\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{6}.a.a.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{48}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{48}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}$.
Ta có $BC\bot OA; BC\bot OH\Rightarrow BC\bot AH$.
Tương tự: $AC\bot BH$. Khi đó $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ và $A,H,K$ thẳng hàng.
Mặt khác: $OK=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$, suy ra $OA=OK\Rightarrow H$ là trung điểm của $AK$.
Vậy ${{V}_{OABH}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{O.ABK}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{OABC}}=\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{6}.a.a.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{48}$.
Đáp án C.