Cho tứ diện đều SABC có cạnh bằng 1. Mặt phẳng (P) đi qua điểm S...

Gọi E là trung điểm của BC. Qua B, C lần lượt kẻ đường thẳng song song với MN và cắt đường thẳng AE tại P, Q.

Theo định lí Talet, ta có $\{\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{AB}{AM}}={\displaystyle \frac{AP}{AG}}\\ & {\displaystyle \frac{AC}{AN}}={\displaystyle \frac{AQ}{AG}}\end{array}\Rightarrow {\displaystyle \frac{AB}{AM}}+{\displaystyle \frac{AC}{AN}}={\displaystyle \frac{AP}{AG}}+{\displaystyle \frac{AQ}{AG}}={\displaystyle \frac{AP+AQ}{AG}}$
Mặt khác $\mathrm{\Delta }BPE=\mathrm{\Delta }CQE\Rightarrow PE=QE\Rightarrow AP+AQ=(AE+PE)+(AE-QE)=2AE$
Do đó ${\displaystyle \frac{AB}{AM}}+{\displaystyle \frac{AC}{AN}}={\displaystyle \frac{2AE}{AG}}=2.{\displaystyle \frac{3}{2}}=3\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{AM}}+{\displaystyle \frac{1}{AN}}=3$
Đặt $\{\begin{array}{rl}& AM=x\\ & AN=y\end{array}\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}=3$
Vì SABC là tứ diện đều $\Rightarrow SG\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$ và $SG={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$
Do đó $V_{SAMN}={\displaystyle \frac{1}{3}}{S}_{\mathrm{\Delta }AMN}.SG={\displaystyle \frac{1}{3}}({\displaystyle \frac{1}{2}}AM.AN\sin {60}^o).SG={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{12}}AM.AN={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{12}}xy$
Ta có $3={\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}\ge {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{xy}}}\iff \sqrt{xy}\ge {\displaystyle \frac{2}{3}}\iff xy\ge {\displaystyle \frac{4}{9}}\Rightarrow V_{min}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{27}}$