Google
Câu hỏi: Cho tứ diện đều SABC có cạnh bằng 1. Mặt phẳng (P) đi qua điểm S và trọng tâm G của tam giác ABC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Thể tích nhỏ nhất ${{V}_{\min }}$ của khối tứ diện SAMN là
A. ${{V}_{\min }}=\dfrac{\sqrt{2}}{18}$
B. ${{V}_{\min }}=\dfrac{4}{9}$
C. ${{V}_{\min }}=\dfrac{\sqrt{2}}{27}$
D. ${{V}_{\min }}=\dfrac{\sqrt{2}}{36}$
A. ${{V}_{\min }}=\dfrac{\sqrt{2}}{18}$
B. ${{V}_{\min }}=\dfrac{4}{9}$
C. ${{V}_{\min }}=\dfrac{\sqrt{2}}{27}$
D. ${{V}_{\min }}=\dfrac{\sqrt{2}}{36}$
Gọi E là trung điểm của BC. Qua B, C lần lượt kẻ đường thẳng song song với MN và cắt đường thẳng AE tại P, Q.
Theo định lí Talet, ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AP}{AG} \\
& \dfrac{AC}{AN}=\dfrac{AQ}{AG} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \dfrac{AB}{AM}+\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{AP}{AG}+\dfrac{AQ}{AG}=\dfrac{AP+AQ}{AG}$
Mặt khác $\Delta BPE=\Delta CQE\Rightarrow PE=QE\Rightarrow AP+AQ=\left( AE+PE \right)+\left( AE-QE \right)=2AE$
Do đó $\dfrac{AB}{AM}+\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{2AE}{AG}=2.\dfrac{3}{2}=3\Rightarrow \dfrac{1}{AM}+\dfrac{1}{AN}=3$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& AM=x \\
& AN=y \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=3$
Vì SABC là tứ diện đều $\Rightarrow SG\bot \left( ABC \right)$ và $SG=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
Do đó ${{V}_{SAMN}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta AMN}}.SG=\dfrac{1}{3}\left( \dfrac{1}{2}AM.AN\sin {{60}^{o}} \right).SG=\dfrac{\sqrt{2}}{12}AM.AN=\dfrac{\sqrt{2}}{12}xy$
Ta có $3=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge \dfrac{2}{\sqrt{xy}}\Leftrightarrow \sqrt{xy}\ge \dfrac{2}{3}\Leftrightarrow xy\ge \dfrac{4}{9}\Rightarrow {{V}_{\min }}=\dfrac{\sqrt{2}}{27}$
Theo định lí Talet, ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AP}{AG} \\
& \dfrac{AC}{AN}=\dfrac{AQ}{AG} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \dfrac{AB}{AM}+\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{AP}{AG}+\dfrac{AQ}{AG}=\dfrac{AP+AQ}{AG}$
Mặt khác $\Delta BPE=\Delta CQE\Rightarrow PE=QE\Rightarrow AP+AQ=\left( AE+PE \right)+\left( AE-QE \right)=2AE$
Do đó $\dfrac{AB}{AM}+\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{2AE}{AG}=2.\dfrac{3}{2}=3\Rightarrow \dfrac{1}{AM}+\dfrac{1}{AN}=3$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& AM=x \\
& AN=y \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=3$
Vì SABC là tứ diện đều $\Rightarrow SG\bot \left( ABC \right)$ và $SG=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
Do đó ${{V}_{SAMN}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta AMN}}.SG=\dfrac{1}{3}\left( \dfrac{1}{2}AM.AN\sin {{60}^{o}} \right).SG=\dfrac{\sqrt{2}}{12}AM.AN=\dfrac{\sqrt{2}}{12}xy$
Ta có $3=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge \dfrac{2}{\sqrt{xy}}\Leftrightarrow \sqrt{xy}\ge \dfrac{2}{3}\Leftrightarrow xy\ge \dfrac{4}{9}\Rightarrow {{V}_{\min }}=\dfrac{\sqrt{2}}{27}$
Đáp án C.