Google
Câu hỏi: Cho tứ diện đều có cạnh bằng 8. Gọi M là điểm thuộc miền trong của khối tứ diện. Gọi h1, h2, h3, h4 lần lượt là khoảng cách từ điểm M đến 4 mặt của nó. Giá trị lớn nhất của h1.h2.h3.h4 bằng
A. $\dfrac{8}{3}.$
B. $\dfrac{64}{9}.$
C. $\dfrac{64}{\sqrt{3}}.$
D. $\dfrac{8}{9}.$
Đạt $V={{V}_{ABCD}};{{V}_{1}}={{V}_{M.ABC}};{{V}_{2}}={{V}_{M.ABD}};{{V}_{3}}={{V}_{M.ACD}};{{V}_{4}}={{V}_{M.BCD}}$
Và $S={{S}_{ABC}}={{S}_{ABD}}={{S}_{ACD}}={{S}_{BCD}}$
Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC $\Rightarrow AH\bot \left( BCD \right)$
$\Rightarrow AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\dfrac{8\sqrt{6}}{3}.$
Ta có ${{V}_{1}}+{{V}_{2}}+{{V}_{3}}+{{V}_{4}}=V$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}.S.{{h}_{1}}+\dfrac{1}{3}.S.{{h}_{2}}+\dfrac{1}{3}.S.{{h}_{3}}+\dfrac{1}{3}.S.{{h}_{4}}=\dfrac{1}{3}.S.AH$
$\Leftrightarrow {{h}_{1}}+{{h}_{2}}+{{h}_{3}}+{{h}_{4}}=AH=\dfrac{8\sqrt{6}}{3}$
Ta có ${{h}_{1}}.{{h}_{2}}.{{h}_{3}}.{{h}_{4}}\le {{\left( \dfrac{{{h}_{1}}+{{h}_{2}}+{{h}_{3}}+{{h}_{4}}}{4} \right)}^{4}}={{\left( \dfrac{2\sqrt{6}}{3} \right)}^{4}}=\dfrac{64}{9}.$ Vậy ${{\left( {{h}_{1}}.{{h}_{2}}.{{h}_{3}}.{{h}_{4}} \right)}_{\text{max}}}=\dfrac{64}{9}.$
A. $\dfrac{8}{3}.$
B. $\dfrac{64}{9}.$
C. $\dfrac{64}{\sqrt{3}}.$
D. $\dfrac{8}{9}.$
Đạt $V={{V}_{ABCD}};{{V}_{1}}={{V}_{M.ABC}};{{V}_{2}}={{V}_{M.ABD}};{{V}_{3}}={{V}_{M.ACD}};{{V}_{4}}={{V}_{M.BCD}}$
Và $S={{S}_{ABC}}={{S}_{ABD}}={{S}_{ACD}}={{S}_{BCD}}$
Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC $\Rightarrow AH\bot \left( BCD \right)$
$\Rightarrow AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\dfrac{8\sqrt{6}}{3}.$
Ta có ${{V}_{1}}+{{V}_{2}}+{{V}_{3}}+{{V}_{4}}=V$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}.S.{{h}_{1}}+\dfrac{1}{3}.S.{{h}_{2}}+\dfrac{1}{3}.S.{{h}_{3}}+\dfrac{1}{3}.S.{{h}_{4}}=\dfrac{1}{3}.S.AH$
$\Leftrightarrow {{h}_{1}}+{{h}_{2}}+{{h}_{3}}+{{h}_{4}}=AH=\dfrac{8\sqrt{6}}{3}$
Ta có ${{h}_{1}}.{{h}_{2}}.{{h}_{3}}.{{h}_{4}}\le {{\left( \dfrac{{{h}_{1}}+{{h}_{2}}+{{h}_{3}}+{{h}_{4}}}{4} \right)}^{4}}={{\left( \dfrac{2\sqrt{6}}{3} \right)}^{4}}=\dfrac{64}{9}.$ Vậy ${{\left( {{h}_{1}}.{{h}_{2}}.{{h}_{3}}.{{h}_{4}} \right)}_{\text{max}}}=\dfrac{64}{9}.$
Đáp án B.