Google
Câu hỏi: Cho tứ diện đều $ABCD$, $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Khi đó $\cos \left(AB, DM \right)$ bằng:
A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
B. $\frac{\sqrt{3}}{6}$.
C. $\frac{1}{2}$.
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Giả sử độ dài các cạnh của tứ diện đều $ABCD$ là $a$.
Gọi $N$ là trung điểm cạnh $AC$.
Khi đó: $MN//AB\Rightarrow \cos \left( AB,DM \right)=\cos \left( MN,MD \right)$.
Đặt : $\varphi =\widehat{NMD}$.
Xét tam giác $NMD$ : $\cos \varphi =\frac{M{{N}^{2}}+M{{D}^{2}}-N{{D}^{2}}}{2.MN.MD}$.
Trong đó: $NM$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $MN=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}$.
$ND$ là đường trung tuyến của tam giác đều $ADC$ cạnh $a$ nên $ND=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$MD$ là đường trung tuyến của tam giác đều $BCD$ cạnh $a$ nên $MD=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Nên: $\cos \varphi =\frac{\frac{{{a}^{2}}}{4}}{2.\frac{a}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$.
A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
B. $\frac{\sqrt{3}}{6}$.
C. $\frac{1}{2}$.
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Giả sử độ dài các cạnh của tứ diện đều $ABCD$ là $a$.
Gọi $N$ là trung điểm cạnh $AC$.
Khi đó: $MN//AB\Rightarrow \cos \left( AB,DM \right)=\cos \left( MN,MD \right)$.
Đặt : $\varphi =\widehat{NMD}$.
Xét tam giác $NMD$ : $\cos \varphi =\frac{M{{N}^{2}}+M{{D}^{2}}-N{{D}^{2}}}{2.MN.MD}$.
Trong đó: $NM$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $MN=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}$.
$ND$ là đường trung tuyến của tam giác đều $ADC$ cạnh $a$ nên $ND=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$MD$ là đường trung tuyến của tam giác đều $BCD$ cạnh $a$ nên $MD=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Nên: $\cos \varphi =\frac{\frac{{{a}^{2}}}{4}}{2.\frac{a}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$.
Đáp án B.