Google
Câu hỏi: Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đặt $AM=x,AN=y,$ tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{3}{{{y}^{2}}}$
A. $\dfrac{27}{4}.$
B. 9.
C. 27.
D. $\dfrac{9}{4}.$
A. $\dfrac{27}{4}.$
B. 9.
C. 27.
D. $\dfrac{9}{4}.$
HD: Chứng minh được $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=3\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+b=3 \\
& T={{a}^{2}}+3{{b}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $T={{\left( 3-b \right)}^{2}}+3{{b}^{2}}=4{{b}^{2}}-6b+9$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $b=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}$
Khi đó ${{T}_{\min }}=\dfrac{27}{4}.$ Chọn A.
& a+b=3 \\
& T={{a}^{2}}+3{{b}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $T={{\left( 3-b \right)}^{2}}+3{{b}^{2}}=4{{b}^{2}}-6b+9$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $b=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}$
Khi đó ${{T}_{\min }}=\dfrac{27}{4}.$ Chọn A.
Đáp án A.