Google
Câu hỏi: Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi S là diện tích toàn phần của tứ diện DAMN. Tìm giá trị nhỏ nhất của S?
A. $\dfrac{\sqrt{3}\left( 4+\sqrt{2} \right)}{9}$
B. $\dfrac{2\sqrt{3}+2}{4}$
C. $\dfrac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{4}$
D. $\dfrac{\sqrt{3}\left( 1+\sqrt{2} \right)}{9}$
Kẻ $DH\bot MN$, do $\left( DMN \right)\bot \left( ABC \right)$ suy ra $DH\bot \left( ABC \right)$
Mà ABCD là tứ diện đều, nên suy ra H là trọng tâm của tam giác đều ABC.
Diện tích toàn phần của tứ diện DAMN:
$S={{S}_{AMD}}+{{S}_{AND}}+{{S}_{DMN}}+{{S}_{AMN}}=\dfrac{1}{2}AD.AM.\sin 60{}^\circ +\dfrac{1}{2}AD.AN.\sin 60{}^\circ +\dfrac{1}{2}DH.MN$
$+\dfrac{1}{2}AM.AN.\sin 60{}^\circ =\sqrt{3}xy+\dfrac{\sqrt{6}}{6}\sqrt{3xy\left( 3xy-1 \right)}$
Mặt khác: ${{S}_{AMN}}=\dfrac{1}{2}AM.AN.\sin 60{}^\circ =\dfrac{\sqrt{3}}{4}xy$
${{S}_{AMN}}={{S}_{AMH}}+{{S}_{ANH}}=\dfrac{1}{2}AM.AH.\sin 30{}^\circ +\dfrac{1}{2}AN.AH.\sin 30{}^\circ =\dfrac{1}{4}.\dfrac{\sqrt{3}}{3}\left( x+y \right)$
Suy ra $\dfrac{\sqrt{3}}{4}xy=\dfrac{1}{4}.\dfrac{\sqrt{3}}{3}\left( x+y \right)\Rightarrow x+y=3xy; 0\le x, y\le 1$
Tìm giá trị nhỏ nhất của $S=\sqrt{3}xy+\dfrac{\sqrt{6}}{6}\sqrt{3xy\left( 3xy-1 \right)}; x+y=3xy, \left( 0\le x; y\le 1 \right)$
Từ $3xy=x+y\ge 2\sqrt{xy}\Rightarrow \sqrt{xy}\ge \dfrac{2}{3}\Rightarrow \dfrac{4}{9}\Rightarrow 3xy-1\ge 3.\dfrac{4}{9}-1=\dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow S=\sqrt{3}xy+\dfrac{\sqrt{6}}{6}\sqrt{3xy\left( 3xy-1 \right)}\ge \dfrac{4}{9}\sqrt{3}+\dfrac{\sqrt{6}}{6}\sqrt{3.\dfrac{4}{9}.\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}\left( 4+\sqrt{2} \right)}{9}$
Suy ra $\min S=\dfrac{\sqrt{3}\left( 4+\sqrt{2} \right)}{9}$, khi $x=y=\dfrac{2}{3}$
A. $\dfrac{\sqrt{3}\left( 4+\sqrt{2} \right)}{9}$
B. $\dfrac{2\sqrt{3}+2}{4}$
C. $\dfrac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{4}$
D. $\dfrac{\sqrt{3}\left( 1+\sqrt{2} \right)}{9}$
Mà ABCD là tứ diện đều, nên suy ra H là trọng tâm của tam giác đều ABC.
Diện tích toàn phần của tứ diện DAMN:
$S={{S}_{AMD}}+{{S}_{AND}}+{{S}_{DMN}}+{{S}_{AMN}}=\dfrac{1}{2}AD.AM.\sin 60{}^\circ +\dfrac{1}{2}AD.AN.\sin 60{}^\circ +\dfrac{1}{2}DH.MN$
$+\dfrac{1}{2}AM.AN.\sin 60{}^\circ =\sqrt{3}xy+\dfrac{\sqrt{6}}{6}\sqrt{3xy\left( 3xy-1 \right)}$
Mặt khác: ${{S}_{AMN}}=\dfrac{1}{2}AM.AN.\sin 60{}^\circ =\dfrac{\sqrt{3}}{4}xy$
${{S}_{AMN}}={{S}_{AMH}}+{{S}_{ANH}}=\dfrac{1}{2}AM.AH.\sin 30{}^\circ +\dfrac{1}{2}AN.AH.\sin 30{}^\circ =\dfrac{1}{4}.\dfrac{\sqrt{3}}{3}\left( x+y \right)$
Suy ra $\dfrac{\sqrt{3}}{4}xy=\dfrac{1}{4}.\dfrac{\sqrt{3}}{3}\left( x+y \right)\Rightarrow x+y=3xy; 0\le x, y\le 1$
Tìm giá trị nhỏ nhất của $S=\sqrt{3}xy+\dfrac{\sqrt{6}}{6}\sqrt{3xy\left( 3xy-1 \right)}; x+y=3xy, \left( 0\le x; y\le 1 \right)$
Từ $3xy=x+y\ge 2\sqrt{xy}\Rightarrow \sqrt{xy}\ge \dfrac{2}{3}\Rightarrow \dfrac{4}{9}\Rightarrow 3xy-1\ge 3.\dfrac{4}{9}-1=\dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow S=\sqrt{3}xy+\dfrac{\sqrt{6}}{6}\sqrt{3xy\left( 3xy-1 \right)}\ge \dfrac{4}{9}\sqrt{3}+\dfrac{\sqrt{6}}{6}\sqrt{3.\dfrac{4}{9}.\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}\left( 4+\sqrt{2} \right)}{9}$
Suy ra $\min S=\dfrac{\sqrt{3}\left( 4+\sqrt{2} \right)}{9}$, khi $x=y=\dfrac{2}{3}$
Đáp án A.