Google
Câu hỏi: Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng a. Gọi (S) là mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện, H là điểm bất kì thuộc (S). Tính giá trị của biểu thức $T=H{{A}^{2}}+H{{B}^{2}}+H{{C}^{2}}+H{{D}^{2}}$
A. $T={{a}^{2}}$
B. $T=2{{a}^{2}}$
C. $T=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$
D. $T=4{{a}^{2}}$
Mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện đều là mặt cầu đi qua 6 trung điểm của 6 cạnh tứ diện đó và có đường kính chính là đoạn vuông góc chung của hai cạnh đối diện.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khi đó MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD. Dễ dàng tính được $MN=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Gọi I, R lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu $\left( S \right)$
Khi đó I là trung điểm MN và $R=\dfrac{MN}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$
Ta có
$\begin{aligned}
& H{{A}^{2}}+H{{B}^{2}}={{\overrightarrow{HA}}^{2}}+{{\overrightarrow{HB}}^{2}}={{\left( \overrightarrow{HM}+\overrightarrow{MA} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{HM}+\overrightarrow{MB} \right)}^{2}} \\
& =2{{\overrightarrow{HM}}^{2}}+{{\overrightarrow{MA}}^{2}}+{{\overrightarrow{MB}}^{2}}+2\overrightarrow{HM}\left( \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right) \\
& =2H{{M}^{2}}+M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \\
& =2H{{M}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}=2H{{M}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{2} \\
\end{aligned}$
Tương tự ta cũng có $H{{C}^{2}}+H{{D}^{2}}=2H{{N}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$
Như vậy $T=H{{A}^{2}}+H{{B}^{2}}+H{{C}^{2}}+H{{D}^{2}}=2\left( H{{M}^{2}}+H{{N}^{2}} \right)+{{a}^{2}}=2M{{N}^{2}}+{{a}^{2}}=2{{a}^{2}}$
(vì $H\in \left( S \right)$ và MN là đường kính của (S) nên ta luôn có $H{{M}^{2}}+H{{N}^{2}}=M{{N}^{2}}$ )
Cách khác
Rõ ràng tứ diện đều ABCD có các đỉnh trùng với 4 trong 8 đỉnh của một hình lập phương (hình vẽ)
Như vậy mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh cảu tứ diện đều chính là mặt cầu nội tiếp hình lập phương này.
Do đó, gọi E, F là tâm của hai hình vuông thuộc 2 đáy thì EF là đường kính của mặt cầu (S).
Đặt cạnh của hình lập phương là x. Khi đó $EF=x=\dfrac{AB}{\sqrt{2}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Đến đây, ta thay M, N thành E, F thì bài toán hoàn toàn được giải như trên.
A. $T={{a}^{2}}$
B. $T=2{{a}^{2}}$
C. $T=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$
D. $T=4{{a}^{2}}$
Mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện đều là mặt cầu đi qua 6 trung điểm của 6 cạnh tứ diện đó và có đường kính chính là đoạn vuông góc chung của hai cạnh đối diện.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khi đó MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD. Dễ dàng tính được $MN=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Gọi I, R lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu $\left( S \right)$
Khi đó I là trung điểm MN và $R=\dfrac{MN}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$
Ta có
$\begin{aligned}
& H{{A}^{2}}+H{{B}^{2}}={{\overrightarrow{HA}}^{2}}+{{\overrightarrow{HB}}^{2}}={{\left( \overrightarrow{HM}+\overrightarrow{MA} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{HM}+\overrightarrow{MB} \right)}^{2}} \\
& =2{{\overrightarrow{HM}}^{2}}+{{\overrightarrow{MA}}^{2}}+{{\overrightarrow{MB}}^{2}}+2\overrightarrow{HM}\left( \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right) \\
& =2H{{M}^{2}}+M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \\
& =2H{{M}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}=2H{{M}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{2} \\
\end{aligned}$
Tương tự ta cũng có $H{{C}^{2}}+H{{D}^{2}}=2H{{N}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$
Như vậy $T=H{{A}^{2}}+H{{B}^{2}}+H{{C}^{2}}+H{{D}^{2}}=2\left( H{{M}^{2}}+H{{N}^{2}} \right)+{{a}^{2}}=2M{{N}^{2}}+{{a}^{2}}=2{{a}^{2}}$
(vì $H\in \left( S \right)$ và MN là đường kính của (S) nên ta luôn có $H{{M}^{2}}+H{{N}^{2}}=M{{N}^{2}}$ )
Cách khác
Như vậy mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh cảu tứ diện đều chính là mặt cầu nội tiếp hình lập phương này.
Do đó, gọi E, F là tâm của hai hình vuông thuộc 2 đáy thì EF là đường kính của mặt cầu (S).
Đặt cạnh của hình lập phương là x. Khi đó $EF=x=\dfrac{AB}{\sqrt{2}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Đến đây, ta thay M, N thành E, F thì bài toán hoàn toàn được giải như trên.
Đáp án B.