Cho tứ diện đều $A B C D$ có cạnh bằng $a .$ Gọi $M, N$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $A B D, A B C$ và $E$ là điểm đối xứng với $B$ qua $D .$ Mặt phẳng...

The Collectors · 30/5/21

Câu hỏi: Cho tứ diện đều

A B C D

có cạnh bằng

a .

Gọi

M, N

lần lượt là trọng tâm các tam giác

A B D, A B C

và

E

là điểm đối xứng với

B

qua

D .

Mặt phẳng

M N E

chia khối tứ diện

A B C D

thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh

A

có thể tích

V .

Tính

V .

A.

V = \frac{3 \sqrt{2} a^{3}}{320} .

B.

V = \frac{9 \sqrt{2} a^{3}}{320} .

C.

V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{96} .

D.

V = \frac{3 \sqrt{2} a^{3}}{80} .

Xét mặt phẳng chứa tam giác

A B D

. Gọi

D^{'}

trên

I E

sao cho

D D^{'} / / A Q

ta có:

\frac{D D^{'}}{M Q} = \frac{E D}{E Q} = \frac{2}{3}

Mà

Δ K D D^{'} \sim Δ K A M \Rightarrow \frac{K D}{K A} = \frac{D D^{'}}{A M} = \frac{D D^{'}}{2 M Q} = \frac{1}{3}

Gọi

M^{'}

trên

B D

sao cho

M M^{'} / / A B .

Ta có:

M^{'} Q = \frac{1}{3} B Q = \frac{1}{3} . \frac{1}{4} B E = \frac{1}{12} B E \Rightarrow E M^{'} = 3 E Q + Q M^{'} = (\frac{3}{4} + \frac{1}{12}) B E = \frac{5}{6} B E

\Rightarrow \frac{M M^{'}}{I B} = \frac{E M^{'}}{E B} = \frac{5}{6} \Rightarrow M M^{'} = \frac{5}{6} I B

Xét mặt tam giác

A B Q

. Ta có

\frac{M M^{'}}{A B} = \frac{Q M}{Q A} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{5}{6} \frac{I B}{A B} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{I B}{A B} = \frac{2}{5} \Rightarrow \frac{A I}{A B} = \frac{3}{5}

Vì

M N / / P Q / / C D \Rightarrow M N / / (A C D) \Rightarrow M N / / J K / / C D \Rightarrow \frac{A J}{A C} = \frac{A K}{A D} = \frac{3}{4}

Vì

A B C D

là tứ diện đều có cạnh bằng

a \Rightarrow V_{A B C D} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}

Ta lại có:

\frac{V_{A I J K}}{V_{A B C D}} = \frac{A I}{A B} . \frac{A J}{A C} . \frac{A K}{A D} = \frac{3}{5} . \frac{3}{4} . \frac{3}{4} = \frac{27}{80} \Rightarrow V_{A I J K} = \frac{27}{80} V_{A B C D} = \frac{27}{80} \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12} = \frac{9 \sqrt{2} a^{3}}{320}

Đáp án A.

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M,N lần lượt là trọng tâm các tam giác ABD,ABC và E là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng...