Google
Câu hỏi: Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $a.$ Gọi $M,N$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABD,ABC$ và $E$ là điểm đối xứng với $B$ qua $D.$ Mặt phẳng $MNE$ chia khối tứ diện $ABCD$ thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh $A$ có thể tích $V.$ Tính $V.$
A. $V=\dfrac{3\sqrt{2}{{a}^{3}}}{320}.$
B. $V=\dfrac{9\sqrt{2}{{a}^{3}}}{320}.$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{96}.$
D. $V=\dfrac{3\sqrt{2}{{a}^{3}}}{80}.$
Xét mặt phẳng chứa tam giác $ABD$. Gọi $D'$ trên $IE$ sao cho $DD'//AQ$ ta có: $\dfrac{DD'}{MQ}=\dfrac{ED}{EQ}=\dfrac{2}{3}$
Mà $\Delta KDD'\sim \Delta KAM\Rightarrow \dfrac{KD}{KA}=\dfrac{DD'}{AM}=\dfrac{DD'}{2MQ}=\dfrac{1}{3}$
Gọi $M'$ trên $BD$ sao cho $MM'//AB.$ Ta có:
$M'Q=\dfrac{1}{3}BQ=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{4}BE=\dfrac{1}{12}BE\Rightarrow EM'=3EQ+QM'=\left( \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{12} \right)BE=\dfrac{5}{6}BE$
$\Rightarrow \dfrac{MM'}{IB}=\dfrac{EM'}{EB}=\dfrac{5}{6}\Rightarrow MM'=\dfrac{5}{6}IB$
Xét mặt tam giác $ABQ$. Ta có $\dfrac{MM'}{AB}=\dfrac{QM}{QA}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \dfrac{5}{6}\dfrac{IB}{AB}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \dfrac{IB}{AB}=\dfrac{2}{5}\Rightarrow \dfrac{AI}{AB}=\dfrac{3}{5}$
Vì $MN//PQ//CD\Rightarrow MN//\left( ACD \right)\Rightarrow MN//JK//CD\Rightarrow \dfrac{AJ}{AC}=\dfrac{AK}{AD}=\dfrac{3}{4}$
Vì $ABCD$ là tứ diện đều có cạnh bằng $a\Rightarrow {{V}_{ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$
Ta lại có: $\dfrac{{{V}_{AIJK}}}{{{V}_{ABCD}}}=\dfrac{AI}{AB}.\dfrac{AJ}{AC}.\dfrac{AK}{AD}=\dfrac{3}{5}.\dfrac{3}{4}.\dfrac{3}{4}=\dfrac{27}{80}\Rightarrow {{V}_{AIJK}}=\dfrac{27}{80}{{V}_{ABCD}}=\dfrac{27}{80}\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}=\dfrac{9\sqrt{2}{{a}^{3}}}{320}$
A. $V=\dfrac{3\sqrt{2}{{a}^{3}}}{320}.$
B. $V=\dfrac{9\sqrt{2}{{a}^{3}}}{320}.$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{96}.$
D. $V=\dfrac{3\sqrt{2}{{a}^{3}}}{80}.$
Xét mặt phẳng chứa tam giác $ABD$. Gọi $D'$ trên $IE$ sao cho $DD'//AQ$ ta có: $\dfrac{DD'}{MQ}=\dfrac{ED}{EQ}=\dfrac{2}{3}$
Mà $\Delta KDD'\sim \Delta KAM\Rightarrow \dfrac{KD}{KA}=\dfrac{DD'}{AM}=\dfrac{DD'}{2MQ}=\dfrac{1}{3}$
Gọi $M'$ trên $BD$ sao cho $MM'//AB.$ Ta có:
$M'Q=\dfrac{1}{3}BQ=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{4}BE=\dfrac{1}{12}BE\Rightarrow EM'=3EQ+QM'=\left( \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{12} \right)BE=\dfrac{5}{6}BE$
$\Rightarrow \dfrac{MM'}{IB}=\dfrac{EM'}{EB}=\dfrac{5}{6}\Rightarrow MM'=\dfrac{5}{6}IB$
Xét mặt tam giác $ABQ$. Ta có $\dfrac{MM'}{AB}=\dfrac{QM}{QA}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \dfrac{5}{6}\dfrac{IB}{AB}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \dfrac{IB}{AB}=\dfrac{2}{5}\Rightarrow \dfrac{AI}{AB}=\dfrac{3}{5}$
Vì $MN//PQ//CD\Rightarrow MN//\left( ACD \right)\Rightarrow MN//JK//CD\Rightarrow \dfrac{AJ}{AC}=\dfrac{AK}{AD}=\dfrac{3}{4}$
Vì $ABCD$ là tứ diện đều có cạnh bằng $a\Rightarrow {{V}_{ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$
Ta lại có: $\dfrac{{{V}_{AIJK}}}{{{V}_{ABCD}}}=\dfrac{AI}{AB}.\dfrac{AJ}{AC}.\dfrac{AK}{AD}=\dfrac{3}{5}.\dfrac{3}{4}.\dfrac{3}{4}=\dfrac{27}{80}\Rightarrow {{V}_{AIJK}}=\dfrac{27}{80}{{V}_{ABCD}}=\dfrac{27}{80}\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}=\dfrac{9\sqrt{2}{{a}^{3}}}{320}$
Đáp án A.