Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi E, F lần lượt là các điểm...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi E, F lần lượt là các điểm đối xứng của B qua C, D và M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Gọi (T) là thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MEF). Tính diện tích S của thiết diện (T).
A.

S = \frac{a^{2}}{2}

B.

S = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{6}

C.

S = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{9}

D.

S = \frac{a^{2}}{6}

Ta có thiết diện (T) là tam giác MHK như hình vẽ.

Dễ thấy H, K lần lượt là trọng tâm tam giác ABE, ABF (đều là giao 2 đường trung tuyến).
Khi đó:

\frac{A H}{A C} = \frac{A K}{A D} = \frac{2}{3} \Rightarrow H K // CD \Rightarrow HK= \frac{2}{3} C D = \frac{2 a}{3}

.
Ta có:

M H^{2} = A M^{2} + A H^{2} - 2 A M . A H . \cos 60^{\circ}

= {(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{2 a}{3})}^{2} - 2. \frac{a}{2} . \frac{2 a}{3} . \frac{1}{2} = \frac{13 a^{2}}{36}

.
Suy ra

M K = M H = \frac{a \sqrt{13}}{6}

.
Xét tam giác cân MHK như hình vẽ.

Ta có:

M I = \sqrt{M H^{2} - I H^{2}} = \sqrt{\frac{13 a^{2}}{36} - {(\frac{a}{3})}^{2}} = \frac{a}{2}

\Rightarrow S_{M H K} = \frac{1}{2} M I . H K = \frac{1}{2} . \frac{a}{2} . \frac{2 a}{3} = \frac{a^{2}}{6}

.

Đáp án D.

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi E, F lần lượt là các điểm...

Quảng cáo

Thống kê diễn đàn

Share this page