Google
Câu hỏi: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi E, F lần lượt là các điểm đối xứng của B qua C, D và M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Gọi (T) là thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MEF). Tính diện tích S của thiết diện (T).
A. $S=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$
B. $S=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{6}$
C. $S=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{9}$
D. $S=\dfrac{{{a}^{2}}}{6}$
A. $S=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$
B. $S=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{6}$
C. $S=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{9}$
D. $S=\dfrac{{{a}^{2}}}{6}$
Ta có thiết diện (T) là tam giác MHK như hình vẽ.
Dễ thấy H, K lần lượt là trọng tâm tam giác ABE, ABF (đều là giao 2 đường trung tuyến).
Khi đó: $\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AK}{A\text{D}}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow HK\text{ // CD}\Rightarrow \text{HK=}\dfrac{2}{3}C\text{D}=\dfrac{2\text{a}}{3}$.
Ta có: $M{{H}^{2}}=A{{M}^{2}}+A{{H}^{2}}-2\text{A}M.AH.\cos 60{}^\circ $
$={{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{2a}{3} \right)}^{2}}-2.\dfrac{a}{2}.\dfrac{2a}{3}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{13{{a}^{2}}}{36}$.
Suy ra $MK=MH=\dfrac{a\sqrt{13}}{6}$.
Xét tam giác cân MHK như hình vẽ.
Ta có: $MI=\sqrt{M{{H}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{13{{a}^{2}}}{36}-{{\left( \dfrac{a}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{a}{2}$
$\Rightarrow {{S}_{MHK}}=\dfrac{1}{2}MI.HK=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{2\text{a}}{3}=\dfrac{{{a}^{2}}}{6}$.
Dễ thấy H, K lần lượt là trọng tâm tam giác ABE, ABF (đều là giao 2 đường trung tuyến).
Khi đó: $\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AK}{A\text{D}}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow HK\text{ // CD}\Rightarrow \text{HK=}\dfrac{2}{3}C\text{D}=\dfrac{2\text{a}}{3}$.
Ta có: $M{{H}^{2}}=A{{M}^{2}}+A{{H}^{2}}-2\text{A}M.AH.\cos 60{}^\circ $
$={{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{2a}{3} \right)}^{2}}-2.\dfrac{a}{2}.\dfrac{2a}{3}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{13{{a}^{2}}}{36}$.
Suy ra $MK=MH=\dfrac{a\sqrt{13}}{6}$.
Xét tam giác cân MHK như hình vẽ.
Ta có: $MI=\sqrt{M{{H}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{13{{a}^{2}}}{36}-{{\left( \dfrac{a}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{a}{2}$
$\Rightarrow {{S}_{MHK}}=\dfrac{1}{2}MI.HK=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{2\text{a}}{3}=\dfrac{{{a}^{2}}}{6}$.
Đáp án D.