Google
Câu hỏi: Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng 4. Diện tích xung quanh ${{S}_{xq}}$ của hình trụ có một đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam gáic $BCD$ và chiều cao bằng chiều cao của tứ diện $ABCD$ là
A. ${{S}_{xq}}=\dfrac{16\sqrt{2}\pi }{3}.$
B. ${{S}_{xq}}=8\sqrt{2}\pi .$
C. ${{S}_{xq}}=\dfrac{16\sqrt{3}\pi }{3}.$
D. ${{S}_{xq}}=8\sqrt{3}\pi .$
A. ${{S}_{xq}}=\dfrac{16\sqrt{2}\pi }{3}.$
B. ${{S}_{xq}}=8\sqrt{2}\pi .$
C. ${{S}_{xq}}=\dfrac{16\sqrt{3}\pi }{3}.$
D. ${{S}_{xq}}=8\sqrt{3}\pi .$
Tam giác $BCD$ đều cạnh 4 có diện tích: ${{S}_{BCD}}=\dfrac{{{4}^{2}}\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}.$ Áp dụng công thức tính nhanh thể tích khối tứ diện đều cạnh $a$ là $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}\Rightarrow {{V}_{ABCD}}=\dfrac{16}{3}\sqrt{2}$
$\Rightarrow $ Độ dài đường cao khối tứ diện: $h=\dfrac{3{{V}_{ABCD}}}{{{S}_{BCD}}}=\dfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.$ Bán kính đáy đường tròn nội tiếp tam giác $BCD$ : $r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{4\sqrt{3}}{6}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.$ Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là: ${{S}_{xq}}=2\pi rh=2\pi .\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.\dfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{16\sqrt{2}\pi }{3}.$
$\Rightarrow $ Độ dài đường cao khối tứ diện: $h=\dfrac{3{{V}_{ABCD}}}{{{S}_{BCD}}}=\dfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.$ Bán kính đáy đường tròn nội tiếp tam giác $BCD$ : $r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{4\sqrt{3}}{6}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.$ Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là: ${{S}_{xq}}=2\pi rh=2\pi .\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.\dfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{16\sqrt{2}\pi }{3}.$
Đáp án A.