Google
Câu hỏi: Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng 1. Trên các cạnh $AB$ và $CD$ lần lượt lấy các điểm $M$ và $N$ sao cho $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{NC}=-2\overrightarrow{ND}$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $MN$ và song song với $AC$ chia khối tứ diện $ABCD$ thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh $A$ có thể tích là $V.$ Tính $V$
A. $V=\dfrac{\sqrt{2}}{18}.$
B. $V=\dfrac{11\sqrt{2}}{216}.$
C. $V=\dfrac{7\sqrt{2}}{216}.$
D. $V=\dfrac{\sqrt{2}}{108}.$
Hình vẽ tham khảo
Từ $N$ kẻ $NP//AC.N\in AD.$ Qua $M$ kẻ $MQ//AC,Q\in BC.$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ là $MPNQ.$
${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}AH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{\sqrt{2}}{12}$
$V={{V}_{ACMPNQ}}={{V}_{AMPC}}+{{V}_{MQNC}}+{{V}_{MPNC}}$
Lại có ${{V}_{AMPC}}=\dfrac{AM}{AB}.\dfrac{AP}{AD}.{{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}{{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{ABCD}}$
${{V}_{MQNC}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{AQNC}}=\dfrac{1}{2}\dfrac{CQ}{CB}.\dfrac{CN}{CD}.{{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}{{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{ABCD}}$
${{V}_{MPNC}}=\dfrac{2}{3}{{V}_{MPCD}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{3}{{V}_{MACD}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{3}\dfrac{AM}{AB}.{{V}_{ABCD}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{3}\dfrac{1}{2}{{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{9}{{V}_{ABCD}}$
Vậy $V=\left( \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{9} \right){{V}_{ABCD}}\Rightarrow V=\dfrac{11}{18}{{V}_{ABCD}}=\dfrac{11\sqrt{2}}{216}.$
A. $V=\dfrac{\sqrt{2}}{18}.$
B. $V=\dfrac{11\sqrt{2}}{216}.$
C. $V=\dfrac{7\sqrt{2}}{216}.$
D. $V=\dfrac{\sqrt{2}}{108}.$
Hình vẽ tham khảo
Từ $N$ kẻ $NP//AC.N\in AD.$ Qua $M$ kẻ $MQ//AC,Q\in BC.$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ là $MPNQ.$
${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}AH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{\sqrt{2}}{12}$
$V={{V}_{ACMPNQ}}={{V}_{AMPC}}+{{V}_{MQNC}}+{{V}_{MPNC}}$
Lại có ${{V}_{AMPC}}=\dfrac{AM}{AB}.\dfrac{AP}{AD}.{{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}{{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{ABCD}}$
${{V}_{MQNC}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{AQNC}}=\dfrac{1}{2}\dfrac{CQ}{CB}.\dfrac{CN}{CD}.{{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}{{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{ABCD}}$
${{V}_{MPNC}}=\dfrac{2}{3}{{V}_{MPCD}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{3}{{V}_{MACD}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{3}\dfrac{AM}{AB}.{{V}_{ABCD}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{3}\dfrac{1}{2}{{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{9}{{V}_{ABCD}}$
Vậy $V=\left( \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{9} \right){{V}_{ABCD}}\Rightarrow V=\dfrac{11}{18}{{V}_{ABCD}}=\dfrac{11\sqrt{2}}{216}.$
Đáp án B.