Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của CD. Tính...

Gọi O là tâm của tam giác BCD
Qua C kẻ đường thẳng d song song với BM
Khi đó $d\left( AC,BM \right)=d\left( BM, \left( AC, d \right) \right)=d\left( O, \left( AC, d \right) \right)$
Do tứ diện ABCD là tứ diện đều $\Rightarrow AO\bot \left( BCD \right)$
Kẻ $OI\bot d$ và $I\in d, OH\bot AI$ và $H\in AI\Rightarrow OH\bot \left( AC, d \right)$
Suy ra $d\left( O, \left( AC, d \right) \right)=OH$
Ta có: $d//BM\Rightarrow d\bot CD$
Tứ giác IOMC là hình chữ nhật, suy ra $IO=MC=\dfrac{a}{2}$
BM là đường cao trong tam giác đều cạnh bằng $a\Rightarrow BM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow BO=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
Ta có $AO=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{O}^{2}}}\Rightarrow AO=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{3}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
Do đó ta có $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}\Rightarrow OH=\dfrac{OA.OI}{\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{I}^{2}}}}\Rightarrow OH=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.\dfrac{a}{2}}{\sqrt{\dfrac{2{{a}^{2}}}{3}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}}=\dfrac{a\sqrt{22}}{11}$