Google
Câu hỏi: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CI với I là trung điểm của AD
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}.$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{6}.$
C. $\dfrac{1}{2}.$
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Gọi H là trung điểm của BD. Ta có $IH\text{//}AB\Rightarrow AB\text{//}\left( HIC \right).$
Nên $\left( \widehat{AB,CI} \right)=\left( \widehat{IH,IC} \right)=\widehat{HIC}.$ Mà $IH=\dfrac{a}{2},CH=CI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Áp dụng định lý cosin trong tam giác HIC, ta được:
$\cos \widehat{HIC}=\dfrac{H{{I}^{2}}+C{{I}^{2}}-H{{C}^{2}}}{2.HI.CI}=\dfrac{{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}{2.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}\Rightarrow \cos \left( \widehat{AB,CI} \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}.$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{6}.$
C. $\dfrac{1}{2}.$
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Nên $\left( \widehat{AB,CI} \right)=\left( \widehat{IH,IC} \right)=\widehat{HIC}.$ Mà $IH=\dfrac{a}{2},CH=CI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Áp dụng định lý cosin trong tam giác HIC, ta được:
$\cos \widehat{HIC}=\dfrac{H{{I}^{2}}+C{{I}^{2}}-H{{C}^{2}}}{2.HI.CI}=\dfrac{{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}{2.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}\Rightarrow \cos \left( \widehat{AB,CI} \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$
Đáp án B.